Функциональные ряды. Фундаментальная система функций. Коэффициенты разложения

Фундаментальной системой функций называется последовательность функций,заданная на определенном интервале как функция независимой переменной и натурального числа ().

Разложением заданной функции () на заданном интервале () по заданной фундаметальной системе функций () называется функция , определенная равенством

(29)

- коэффициенты разложения, определяемые по соответствующему закону.

1.3.1. Степенные ряды (Маклорэна и Тейлора-C.Maclaurin-1722 end Taylor B.-1712) в окрестности начала координат () и в окрестности произвольной точки .

(30)

(31)

1.3.2 Обобщенные ряды Фурье (Фурье-J.B.J.Fouirer-1795).

Ортогональная фундаментальна система функций – это система функций, функционал которых – скалярное произведение (интегралы от произведений функций с разными индексами -номерами) равно нулю для произведений с функций разными номерами и не равно нулю с одинаковыми.

(32)

Ортонормированная фундаментальная система функций – это система нормированных ортогональных функций (в качестве нормы функций приняты корни квадратные от чисел ), что дает

(33)

Разложение заданной на интервале функции по ортонормированной системе функций (обобщенный ряд Фурье)

(34)

- обобщенные коэффициенты Фурье.

2. Тригонометрические ряды Фурье-Эйлера (Л.Эйлер-L.Euler-1748).

Ряды, фундаментальная система функций которого элеиентарные тригонометрические функции – синус и косинус- функциональные ряды Фурье-Эйлера

(35)

Фундаметальные функции периодические с периодом (), ортогональны на произвольном интервале или на «стандартном» интервале . Ортонормированая по норме на указанных интервалах фундаментальная система тригонометрических функций

(36)

2.1. Ряд Фурье-Эйлера на основном интервале ()

- фундаметальная система

(37)

-разложение кусочно-непрерывной периодической функции, заданной на основном интервале

(38)

- коэффициенты Фурье-Эйлера

(39)

2.2. Ряд Фурье-Эйлера на основном интервале ()

- фундаметальная система

(40)

-разложение кусочно-непрерывной периодической функции, заданной на основном интервале

(41)

- коэффициенты Фурье-Эйлера

(42)

2.3. Ряд Фурье-Эйлера на основном интервале ()

- фундаметальная система

(43)

-разложение кусочно-непрерывной периодической функции, заданной на основном интервале

(44)

- коэффициенты Фурье-Эйлера

(45)

Лекция 2. Ряды Фурье-Эйлера для четных и нечетных функций на основных интервалах. Сходимость рядов Фурье-Эйлера. Приложение рядов Фурье-Эйлера.

Дата добавления: 2015-07-02; Просмотров: 429; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!