Разложение в ряд Фурье функций,

ЗАДАННЫХ НА

До сих пор мы рассматривали разложение в ряд Фурье функций, заданных на отрезке. Теперь рассмотрим разложение в ряд Фурье функций, заданных на всей числовой оси.

а) Известно, что если функция имеет период Т и интегрируема на отрезке , то

при любых и .

Поэтому, если является периодической функцией с периодом Т, то для представления ее рядом Фурье, достаточно рассматривать любой промежуток длиной Т. В этом случае график на всей числовой оси совпадает с графиком в точках непрерывности.

Пример 7. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию при ; .

Решение. Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле, что дает возможность получить ее разложение в ряд Фурье. Она является четной. Все коэффициенты . Коэффициент вычисляем по формулам (10), положив :

,

(дважды применена формула интегрирования по частям)

.

Следовательно,

.

Это разложение данной периодической и всюду непрерывной функции справедливо при любом , т.е. полученный ряд Фурье сходится к данной функции на всей числовой оси. Графики данной функции и суммы ее ряда Фурье полностью совпадают.

Пример 8. Разложить в ряд Фурье функцию при ; .

Решение. Функция нечетная, поэтому все коэффициенты ;

.

Следовательно,

.

Полученное разложение данной функции справедливо во всей ее области непрерывности, т.е. при всех значениях , кроме , В точках разрыва по теореме Дирихле сумма полученного ряда равна 0 (это же очевидно потому, что в этих точках все члены ряда обращаются в 0). Графики суммы ряда и данной функции отличаются точками с абсциссами . У графика данной функции ординаты этих точек равны -1; а у графика суммы ряда они равны 0.

б) Пусть - непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Такая функция не может быть разложена в ряд Фурье, так как сумма ряда Фурье есть периодическая функция и, следовательно, не может быть равна при всех .

Однако непериодическая функция может быть представлена в виде ряда Фурье на любом конечном промежутке , на котором она удовлетворяет условиям Дирихле. Сумма этого ряда во всех точках отрезка (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией . Вне этого промежутка сумма ряда и являются различными функциями.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Разложить в ряд Фурье в указанных интервалах следующие функции:

а) при ;

б) в интервале ;

в) в интервале .

2. Разложить в ряды Фурье следующие периодические функции:

а) ;

б) ;

в) .

3. Разложить в интервале по синусам кратных дуг функцию . Полученное разложение использовать для суммирования числовых рядов:

а)

б)

в) .

4. Разложить в неполные ряды Фурье

а) по синусам

б) по косинусам

функцию при .

Дата добавления: 2015-07-02; Просмотров: 1897; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!