Системы линейных алгебраических уравнений. Задачи для самостоятельной работы

Метод Гаусса применим для любых СЛАУ и представляет собой последовательность эквивалентных преобразованиях расширенной матрицы системы.

Две расширенные матрицы системы называются эквивалентными, если соответствующие им СЛАУ равносильны.

Метод Гаусса использует три эквивалентных преобразования расширенных матриц, которые называются элементарными:

o перемена местами строк i и j (обозначение: );

o умножение всех элементов строки i на ненулевое число (обозначение: );

o прибавление ко всем элементам строки i соответствующих элементов строки j, умноженных на число (обозначение: );

Суть метода Гаусса заключается в приведении матрицы системы с помощью элементарных преобразований к верхнетреугольной матрице (прямой ход), а затем к диагональной (обратный ход).

Пример 1.3. Решить систему уравнений Ax = b, методом Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса, если A= , x = , b= .

▼

· Решим систему методом Крамера.

1. решение единственное.

2.

3.

4. ,

· Решим систему матричным методом.

1. решение единственное.

2.

3. .

4. Из формулы получаем:

· Решим систему методом Гаусса.

1. Выпишем расширенную матрицу системы .

2. Прямой ход.

~ ~ ~

~ ~

3.Обратный ход.

~ ~ ~

~ .

4.Ответ:

▲

Пример 1.4. Решить систему уравнений Ax = b методом Гаусса, если A= , x = , b= .

▼

1. Выпишем расширенную матрицу системы .

2. Прямой ход.

~ ~

Последняя строка, полученной после элементарных преобразований расширенной матрицы, соответствует уравнению , которое не имеет решений. Следовательно, система решений не имеет.

▲

Пример 1.5. Решить систему уравнений Ax = b методом Гаусса, если A= , x = , b= .

▼

1. Выпишем расширенную матрицу системы .

2. Прямой ход.

~ ~ .

Нулевая строка может быть удалена из расширенной матрицы системы.

3. Обратный ход.

~ .

Полученная после элементарных преобразований расширенная матрица, соответствует системе:

Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

▲