II. Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Функция, заданная на всей числовой оси или на интервале, симметричном относительно начала координат, называется четной, если

и

нечетной, если .

График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Рассмотрим интеграл вида , где - произвольное число из области определения .

Если - четная, то из геометрической интерпретации следует: .

Если - нечетная, то .

Запишем ряд Фурье для четной периодической функции с периодом . Так как четная, то тоже четная, а - нечетная функция относительно .

Тогда: ,

,

,

и ряд Фурье имеет вид: .

Если нечетная периодическая функция с периодом , то нечетная, а - четная функция относительно .

Тогда ,

,

,

и ряд Фурье имеет вид:

.

Таким образом, ряд Фурье для четной функции состоит из свободного члена и косинусоидальной части. Ряд Фурье для нечетной функции состоит только из синусоидальной части.

Полученные формулы позволяют упрощать вычисления коэффициентов Фурье в случае четности или нечетности заданной функции.

Дата добавления: 2015-07-02; Просмотров: 807; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!