Обыкновенным дифференциальным уравнением называется соотношение вида

где – независимая переменная; – неизвестная функция;

– заданная функция.

Порядок старшей производной входящей в уравнение называется порядком дифференциального уравнения.

Если уравнение (1) разрешимо относительно старшей производной, то уравнение принимает вид

(2)

Решением дифференциального уравнения порядка называется функция , имеющая на некотором интервале изменения независимого переменного непрерывные производные удовлетворяющие этому уравнению. Это означает, что выполняется тождество по :

График функции y(x) решения уравнения -го порядка называется интегральной кривой этого уравнения.

Общим решением уравнения (1) или (2) называется функция которая при любых числовых значениях параметров является решением этого дифференциального уравнения.

Частным решением называется решение, получаемое из общего решения при каких-либо определенных значениях постоянных .

Уравнение определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной:

(3)

Задачей Коши называют задачу нахождения решения уравнения (3), удовлетворяющего начальному условию , где и заданные числа. Это означает, что ищется интегральная кривая уравнения (3), проходящая через точку плоскости хOу.

Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

Уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде

(4)

а также в виде

(5)

Для решения такого уравнения надо обе его части умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну часть выражения входило только , в другую только и затем проинтегрировать обе части.

При делении обеих частей уравнения на выражение содержащее неизвестные и , могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль, поэтому желательно рассмотреть эти случаи.

П р и м е р. Решить уравнение

Приводим уравнение к виду (5): .