Пространственная система произвольно расположенных сил. 1 страница

Задание С 4. Равновесие сил, произвольно расположенных в пространстве

Задание С 4 – на равновесие пространственной произвольной системы сил. Схемы конструкций представлены на рис. 48 – 57 (вар. 1 – 60) – стр. 66– 75. В зависимости от типа конструкции задание формулируется отдельно.

Задание 1. (к вариантам 1 – 10)

Однородная прямоугольная плита весом Р = 5 кН со сторонами АВ = 3ℓ, ВС = 2ℓ закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В – цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС' (вар. 1 – 10). На плиту действуют: пара сил с моментом М = 6 кН·м, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в табл. 7. При этом силы ₁ и ₄ лежат в плоскостях, параллельных плоскости ХУ, сила ₂ – в плоскости, параллельной ХZ, сила ₃ – в плоскости, параллельной YZ. Точки приложения сил (D, E, H) находятся в серединах сторон плиты.

Таблица 7.

Определить реакции связей в точках А,В и С. При подсчётах принять ℓ = 2 м.

Указания: При решении задания следует учесть, что реакция сферического шарнира (подпятника) имеет три составляющие (по всем координатным осям), а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) – две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси подшипника. При вычислении момента силы удобно её разложить на две составляющие ' и ", параллельные координатным осям (или на три): тогда по теореме Вариньона М_х () = М_х ( ') + М_х ( ") и т. д.

Задание 2. (к вариантам 11 – 20)

Две однородные прямоугольные тонкие плиты жестки соединены (сварены) под прямым углом друг к другу и закреплены сферическим шарниром (или подпятником) в точке А, цилиндрическим шарниром (подшипником) в точке В и невесомым стержнем 1 (вар. 11 – 18) или же двумя подшипниками в точках А и В и двумя невесомыми стержнями 1 и 2 (вар. 19 – 20); все стержни прикреплены к плитам и к неподвижным опорам шарнирами.

Размеры плит указаны на рисунках; вес большей плиты Р₁ = 5 кН, вес меньшей плиты Р₂ = 3 кН. Каждая из плит расположена парал­лельно одной из координатных плоскостей (плоскость ху — горизон­тальная). На плиты действуют пара сил с моментом М = 4 кН·м, лежащая в плоскости одной из плит, и две силы. Значения этих сил, их направле­ния и точки приложения указаны в табл. 8; при этом силы ₁ и ₄ лежат в плоскостях, параллельных плоскости ХУ, сила ₂ – в плоскости, параллельной ХZ, сила ₃ – в плоскости, параллельной YZ. Точки приложения сил (D, E, H, К) находятся в углах или в серединах сторон плит.

Определить реакции связей в точках А и В и реакцию стержня (стержней). При подсчетах принять а = 2 м.

Указания: При решении задания следует учесть, что реакция сферического шарнира (подпятника) имеет три составляющие (по всем координатным осям), а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) – две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси подшипника. Реакция невесомого стержня всегда направлена вдоль стержня. При вычислении момента силы удобно её разложить на две составляющие ' и ", параллельные координатным осям (или на три): тогда по теореме Вариньона М_х () = М_х ( ') + М_х ( ") и т. д.

Таблица 8.

Задание 3. (к вариантам 21 – 35)

Шесть невесомых стержней соединены своими концами шарнирно друг с другом в двух узлах и прикреплены другими концами (тоже шарнирно) к неподвижным опорам А, В, С, D, Е, К, F, L(вар. 21 – 35). Стержни и узлы (узлы расположены в вершинах А, В, С, D, Е, К, F, Lпрямоугольного параллелепипеда) на рисунках не показаны и долж­ны быть изображены решающим задачу по данным таблицы. В узле, который в каждом столбце таблицы указан первым, приложена сила Р = 200 Н; во втором узле приложена сила Q = 100 Н. Сила обра­зует с положительными направлениями координатных осей х, у, z углы, равные соответственно α₁ = 45°, β₁ = 60°, γ₁ = 60°, а сила – углы α₂ = 60°, β₂ = 45°, γ₂ = 60°; направления осей х, у, z соответствует правой декартовой системе отсчёта.

Грани параллелепипеда, параллельные плоскости ху, — квадраты. Диагонали других боковых граней образуют с плоскостью ху угол φ = 60°, а диагональ параллелепипеда образует с этой плоскостью угол θ = 51°. Определить усилия в стержнях, указанных в табл. 9.

Таблица 9.

Указания: Система отсчёта вводится решающим самостоятельно. Изображать чертеж можно без соблюдения масштаба так, чтобы лучше были видны все шесть стержней. Стержни следует пронумеро­вать в том порядке, в каком они указаны в таблице; реакции стержней обозначать буквой с индексом, соответствующим номеру стержня (например, и т. д.). Реакция невесомого стержня всегда направлена вдоль стержня. При вычислении момента силы удобно её разложить на две составляющие ' и ", параллельные координатным осям (или на три): тогда по теореме Вариньона М_х () = М_х ( ') + М_х ( ") и т. д.

Задание 4. (к вариантам 35 – 40)

Однородное тело весом под действием наложенных на него связей и приложенных к нему систем сил находится в равновесии. Пренебрегая трением в местах сочленений, определить реакции опор А и В, а также усилия в стержнях. Вес стержней не учитывать. Необходимые для расчёта данные приводятся в таблице 10.

Таблица 10.

Задание 5: (к вариантам 41 - 60)

Схемы конструкций представлены на рис. 54 – 57 (вар. 41 – 60). Найти реакции опор конструкции. Необходимые для расчёта данные приведены в таблице 11.

Таблица 11

Рисунок 48

Рисунок 49

Рисунок 50

Рисунок 51

Рисунок 52

Рисунок 53

Рисунок 54

Рисунок 55

Рисунок 56

Рисунок 57

Пример 1 (к вариантам 1-10)

Однородная прямоугольная плита весом со сторонами АВ = 3L, ВС = 2 L закреплена в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС` (рис. 1)

На плиту действуют: пара сил (лежащая в плоскости плиты) с моментом М; сила – в плоскости, параллельной YZ (точка приложения –H); сила – в плоскости параллельной XZ (точка приложения Е). Точки приложения сил (Е, Н) находятся в серединах сторон плиты.

Дано: М = 6 кН·м; F₁ = 2 кН; F₂ = 4 кН; L = 1 м; Р = 8 кН; АВ = 3L м; ВС = 2L м.

Определить реакции связей в точках А, В и стержня СС`.

Решение:

1. Рассмотрим равновесие плиты. На неё действуют: пара сил (лежащая в плоскости плиты) с моментом М; сила - в плоскости, параллельной YZ (точка приложения - H) и её составляющие:

F_1y = F₁·sin 60⁰ = 2· = кН;

F_1z = F₁·cos 60⁰ = 2· = 1 кН.

Сила - в плоскости, параллельной XZ (точка приложения Е); ||AZ; вес плиты - на пересечении диагоналей (в центре тяжести прямоугольной плиты), а также реакции связей: реакцию сферического шарнира А разлагаем на три составляющие - , , ; реакцию цилиндрического шарнира (подшипника) В – на две составляющие , (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника), реакцию стержня направляем вдоль стержня СС`, предполагая, что он растянут и разлагаем на две составляющие: S<sub>Z</sub> = S·sin 60<sup>0</sup>; S<sub>у</sub> = S·cos 60<sup>o</sup> (так как стержень CC` в плоскости, параллельной уz) - рис. 2.

2. Для полученной пространственной произвольной системы сил (рис.2) для определения шести неизвестных реакций опор - , , , , , -можно составить шесть уравнений равновесия:

1-ый способ решения:

∑ F_AX = 0; Х_{А +} Х_В = 0 (1)

∑ F_AY = 0; У_A – F_1Y – S · cоs 60⁰ = 0 (2)

∑ F_AZ = 0; Z_A + Z_B – Р + F₂ – F_1Z + S · sin 60⁰ = 0 (3)

∑ М_AX ( _K) = 0; - 1,5L·F_1Z – 1,5L·P + 3L·Z_B + 3L·S·sin 60⁰ = 0 (4)

∑ М_AY ( _K) = 0; L·F₂ - L·P – 2L·F_1Z + 2L·S·sin 60⁰ = 0 (5)

∑ M_AZ( _K) = 0; М – 3L· X_B + 2L · F_1Y + 2L · S · cos 60⁰ = 0 (6)

Из уравнения 5) вычисляем реакцию :

= = = 3,47 кH;

Представляя найденную в уравнение 4) определяем численное значение реакции :

= = = 1,49 кH;

Подставляя найденную в уравнение 6) находим численные значения реакции :

= = = 4,31 кН;

Из уравнения 2),подставляя найденную , определяем численное значение реакции :

= F_1Y + S·cos 60⁰ = +3,47· = 3,47 кН;

Из уравнения 1),учитывая найденную => = - Х_В= - 4,31 кН;

Подставляя найденные , из уравнения 3) вычисляем реакцию _:

= -Z_B + P – F₂ + F_1Z – S · sin 60⁰ = - 1,49 + 8 – 4 + 1 – 3,47·( /2) = 0,5 кН;

Проверка:

∑F_BX1 = 0; X_A + X_B = 0;

4,31 – 4,31 = 0;

0 ≡ 0,

∑F_BY1=0; Y_A – F_1Y – S·cos60⁰=0;

3,47 – – 3,47· =0;

3,47– 3,47=0;

0 ≡ 0;

∑F_BZ1=0; Z_A+Z_B – Р+F₂ – F_1Z+S·sin60⁰=0;

0,5+1,49-8+4 – 1+3,47·( /2)=0;

0 ≡ 0;

2-й способ решения:

Вводим систему отсчета BX₁Y₁Z₁ (рис.2):

∑ _BX1 = 0; X_A+X_B=0; (1^/)

∑ _BY1 = 0; Y_A – F_1Y – S·cos60⁰=0; (2^/)

∑ _BZ1 = 0; Z_A+Z_B – P+F₂ – F_1Z+S·sin60⁰=0; (3^/)

∑М_BX1( _K)=0; – 3L·Z_A – 3L·F₂+1,5L·F_1Z+1,5L·P=0; (4^/)

∑М_BY1( _K)=0; – L·P+L·F₂ – 2L·F_1Z+2L·S·sin60⁰=0; (5^/)

∑М_BZ1( _K)=0; 3L·X_A+M+2L·F_1Y+2L·S·cos60⁰=0; (6^/)

Из уравнения 4^/) вычисляем :

= = =0,5 кН;

Из уравнения 5^/) определяем численное значение реакции стержня СС^/:

= = = 3,47 кН;

Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 2430; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!