Учет сбережений населения в упрощенной модели Кейнса

Условие отрицательности дискриминанта

выполняется, по крайней мере, тогда, когда

,

т.е. скорость роста (по ВВП) реальных инвестиций выше скорости роста спроса на деньги, а скорость падения (по норме процента) спроса на деньги выше скорости падения реальных инвестиций.

Корни комплексные. Если дискриминант характеристического уравнения (1.5.14) отрицателен, то корни уравнения комплексные взаимно сопряженные:

,

где

При этом

.

В этом случае поведение системы зависит от знака действительной части корней:

• если знак положителен, то имеют место автоколебания с экспоненциально возрастающей амплитудой, и система удаляется от точки равновесия;

• если знак отрицателен, то имеют место автоколебания с экспоненциально убывающей амплитудой, и система возвращается в точку равновесия.

Докажем это. Образ решения будет иметь вид:

поэтому образы переменных соответственно равны

, .

Поскольку согласно табл. 1.1 прообразом является , а прообразом — , то окончательно получаем

(1.5.23)

Члены в квадратных скобках задают автоколебания, а множи­тель e^at определяет экспоненциальное изменение амплитуды: при а > 0 — ее неограниченное увеличение, при а < 0 — ее уменьшение до нуля. Поведение системы в том и другом случаях показано на рис. 1.21 (пунктиром показан разделительный цикл).

Рис. 1.21. Фазовые траектории системы при комплексных корнях характеристического уравнения

Вернемся к содержательной интерпретации условий возникно­вения рассматриваемой ситуации. Основное условие — отрицатель­ность дискриминанта, что эквивалентно неравенству

. (1.5.24)

Необходимым условием выполнения (1.5.24) является положи­тельность левой части данного неравенства:

,

или

,

Последнее неравенство выполняется, по крайней мере, в том случае, когда

,

т.е. спрос на деньги растет (по у) быстрее, чем реальные инвестиции, а реальные инвестиции падают (по r) быстрее, чем спрос на деньги.

Если дискриминант отрицателен, то поведение системы цели­ком определяется знаком действительности части корней

При , т.е. когда спрос на инвестиции растет (по у) быстрее сбережений населения, то а <0, поскольку .

Действительная часть корней останется отрицательной, если

В этом случае система в результате затухающих колебаний вер­нется в первоначальное состояние равновесия .

Корни действительные. Если дискриминант характеристическо­го уравнения положителен, то оба корня действительны, поэтому , и можно разложить на простые дроби:

.

Образ решения примет вид:

Отдельные его компоненты

, .

Поскольку согласно табл. 1.1 прообразом служит , а прообразом

— ,то получаем

(1.5.25)

Как видно из полученного решения, при ,

Напротив, если хотя бы один из корней положителен, то имеет ме­сто неограниченное возрастание (убывание) при (), .

Если же , то система после экспоненциально затухающего переходного процесса перейдет в новое установившееся состояние

,

.

Поведение системы при , и показано на рис. 1.22.

Снова вернемся к содержательной интерпретации условий воз­никновения рассматриваемой ситуации. Основное условие — поло­жительность дискриминанта, т.е. выполнение неравенства

Последнее неравенство эквивалентно следующему (в круглые скобки взяты заведомо положительные величины):

(1.5.26)

Рис. 1.22, Фазовые траектории системы при действительных корнях характеристического уравнения

Неравенство (1.5.26) будет выполняться, по крайней мере, в том случае, когда

(1.5.27)

что возможно.

Корень отрицателен, по крайней мере, тогда, когда производная становится пренебрежимо малой, но оставаясь положительной. Отрицательность следует при этом из неравенства (в круглых скобках заведомо положительные величины):

Выводы. Подведем итоги. Нелинейная динамическая система (1.5.9) имеет точку равновесия ,являющуюся решением сис­темы из двух нелинейных алгебраических уравнений:

В результате некоторого импульсного воздействия система была «выбита» из состояния равновесия в некоторое другое состояние находящееся в окрестности равновесного состояния.

Для изучения дальнейшего поведения системы (1.5.9) она была линеаризована, т.е. заменена приближенно линейным аналогом (1.5.15) — линейной двухсвязной системой, в которой

, , , .

Поведение линеаризованной системы определяется типом кор­ней характеристического уравнения

которое является квадратным алгебраическим уравнением:

Если корни чисто мнимые то система находится в незатухающих автоколебаниях с круговой частотой , при этом ее координаты описывают замкнутый цикл, проходящий через начальную точку

Если корни комплексные взаимно сопряженные то при а < 0 система находится в затухающих автоколебаниях и воз­вращается в точку покоя . При а >0 система находится в автоколебательном режиме с экспоненциально возрастающей амплитудой.

Если корни действительные то при система из начального состояния возвращается в состояние покоя . При система постепенно переходит в новое состояние покоя . При система неограниченно удаляется от начального состояния .

Поскольку

,, , .

то варианты поведения реальной системы охватывают лишь часть вариантов поведения линейной двухсвязной системы, однако было показано, что возможна реализация всех описанных типов поведения.