Зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси

Объединяя оба случая вместе, заключаем, что момент силы от­носительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

3) Если сила перпенди­кулярна к оси, то ее момент относительно оси равен про­изведению модуля силы на расстояние между силой и осью.

Рис.41

Моменты силы находятся просто:

M_x()= ;

M_y()=0;

M_z()= .

Моменты сил и - по­сложнее.

В тех случаях, когда век­тор силы направлен под углом к осям, полезно разложить вектор силы на составляющие парал­лельные осям и, затем, находить сумму моментов этих состав­ляющих.

Так моменты силы :

;

;

.

И силы :

;

;

(линия действия силы пересекает ось z).

Пусть на тело действует приложен­ная в точке А сила (рис. 42). Проведем какую-нибудь ось z и возьмем на ней произвольную точку О. Момент силы относи­тельно центра О будет изображаться вектором перпендикуляр­ным плоскости ОАВ, причем по мо­дулю .

Рис.42

Проведем теперь через любую точку O ₁ на оси z плоскость ху, перпендику­лярную к оси; проектируя силу на эту плоскость, найдем .

Но треугольник О ₁ А ₁ В ₁ представляет собою проекцию треуголь­ника ОАВ на плоскость ху. Угол между плоскостями этих треуголь­ников равен углу между перпендикулярами к плоскостям, т. е. ра­вен . Тогда, по известной геометрической формуле, .

Умножая обе части этого равенства на 2 и замечая, что удвоен­ные пощади треугольников О ₁ А ₁ В ₁ и ОАВ равны соответственно и , найдем окончательно: .

Так как произведение дает проекцию вектора на ось z, то равенство можно еще представить в виде

или .

В результате мы доказали, что между моментом силы относи­тельно оси и ее моментом относительно какого-нибудь центра, лежа­щего на этой оси, существует следующая зависимость: момент силы относительно оси равен проекции на эту ось вектора, изображающего момент данной силы относительно любого центра, лежащего на оси.

Приведение пространственной системы сил к данному центру.

Полученные выше результаты позволяют решить задачу о приведении любой системы сил к данному центру. Эта задача, решается с помощью теоремы о параллельном переносе силы. Для переноса действующей на абсолютно твердое тело силы из точки А (рис. 43, а) в точку О прикладываем в точке О силы и . Тогда сила окажется приложенной в точке О и к ней будет присо­единена пара () с моментом , что можно показать еще так, как на рис. 43, б. При этом .

Рис.43

Рассмотрим теперь твердое тело, на которое действует какая угодно система сил , ,…, (рис. 44, а). Выберем произволь­ную точку О за центр приведения и перенесем все силы системы в этот центр, присоединяя при этом соответствующие пары. Тогда на тело будет действовать система сил

.

приложенных в центре О, и система пар, моменты которых будут равны

,

Силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой , при­ложенной в той же точке. При этом или,

.

Чтобы сложить все полученные пары, надо геометрически сло­жить векторы моментов этих пар. В результате система пар заме­нится одной парой, момент которой или,

.

Как и в случае плоской системы, величина , равная геометри­ческой сумме всех сил, называется главным вектором системы; величина , равная геометрической сумме моментов всех сил отно­сительно центра О, называется главным моментом системы отно­сительно этого центра.

Рис.44

Таким образом мы доказали следующую теорему, любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой , равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом , равным главному моменту системы относительно центра О (рис. 44, б).

Векторы и обычно определяют аналитически, т.е. по их проекциям на оси координат.

Выражения для R _x, R _y, R _z нам известны. Проекции век­тора на оси координат будем обозначать M _x, M _y, M _z. По тео­реме о проекциях суммы векторов на ось будет или, . Аналогично находятся величины M _y и M _z.

Окончательно для определения проекций главного вектора и главного момента получаем формулы:

При этом главный вектор пространственной системы сил: R₀ = Σ P_i отличается от главного вектора плоской системы сил только наличием третьей компоненты, поэтому его модуль будет равен:

Главный момент пространственной системы сил: M₀ = Σ M₀ (P_i) - это вектор, модуль которого находится аналогично:

где M_x, M_y, M_z - суммы моментов всех сил системы относительно соответствующих осей.

В зависимости от значений главного вектора и главного момента, а также от их взаимного расположения возможны следующие варианты приведения пространственной системы сил:

1) R₀ = 0, M₀ = 0 - система сил находится в равновесии;

2) R₀ = 0, M₀ ≠0 - система эквивалентна паре сил с моментом, равным главному моменту системы, который в этом случае не зависит от выбора центра приведения;

3) R₀ ≠0, M₀ = 0 - система эквивалентна равнодействующей R, равной и эквивалентной главному вектору системы R₀, линия действия которой проходит через центр приведения: R = R₀, R ~ R₀;

4) R₀ ≠0, M₀ ≠0 и R₀ ⊥ M₀ - система эквивалентна равнодействующей R, равной главному вектору системы R₀, ее линия действия проходит на расстоянии d = | M₀ |/ R₀ от центра приведения.

5) R₀ ≠ 0, M₀ ≠0 и главный вектор R₀ неперпендикулярен главному моменту M₀ - система эквивалентна скрещивающимся силам или динаме.

При этом скрещивающимися называются силы, которые непараллельны и не лежат в одной плоскости, а динамой называется система, состоящая из силы и пары сил, плоскость которой перпендикулярна этой силе.

Динама, приложенная к твердому телу, стремится вызвать его винтовое движение, которое представляет совокупность вращательного и поступательного движений.

Примечание.

Для пространственной системы сил, как и для плоской, справедлива следующая Теорема Вариньона.