Центр масс и центр тяжести тела

Центр масс тела вводится по определению как некоторая, вообще говоря, геометрическая точка, положение которой определяется формулой

; (1)

, - радиус-векторы центра масс и некоторой точки тела, в окрестности которой выделен элементарный объём dV, соответственно; - плотность материала и масса тела. Введённое понятие центра масс справедливо не только для твёрдого тела, но и для системы конечного числа материальных точек, не образующих твёрдого тела.

Понятие центра тяжести вводится для твёрдого тела в однородном поле силы тяжести вблизи Земли. Выделим элементарные объёмы в окрестности двух различных точек некоторого тела, находящегося вблизи Земли. Воздействие Земли на эти частицы сведётся к силам тяжести (собственно моменты для материальных точек равны нулю). Сила тяжести каждой выделенной частицы направлена по вертикали места вниз. Так как форма Земли близка к шару (радиуса км), то силы тяжести двух выделенных частичек тела, строго говоря, не параллельны. Однако размеры тела обычно малы по сравнению с расстоянием до точки пересечения их линий действия. Поэтому приближённо вполне допустимо считать силы тяжести различных его частичек практически параллельными. Это обстоятельство (по аналогии с рассмотренными ранее распределёнными нагрузками) позволяет предположить существование центра силового воздействия Земли на это тело. По определению, поворот тела вокруг этого центра не должен вызывать сопротивления Земли. Покажем, что такой центр действительно существует, и найдём его положение. Рассмотрим весомое тело, Рис.29, находящееся в равновесии при действии на него некоторых сил (они не показаны, так как. нас в данный момент будут интересовать лишь силы тяжести).

Выделим в теле элементарный объём dV, вес которого равен ; - вектор ускорения свободного падения. Найдём суммарную силу, с которой Земля действует на рассматриваемое тело, используя аддитивность воздействий

. (2)

Интегрирование выполняется по объёму тела. Рис.29. К отысканию

Выберем в качестве точки приведения некоторую центра тяжести тела

точку В тела, и найдём сумму моментов относительно этой точки распределённых сил тяжести:

. (3)

Зафиксируем произвольную точку О, Рис.29, и представим вектор в виде разности: . Учитывая это и равенства (1) и (2), получим

. (4)

Видно, что если точку приведения В совместить с центром масс С тела, то момент будет равен нулю: . Следовательно, точка С есть центр силового воздействия Земли на тело. Найдём положение этой точки.

Преобразуем формулу (3), выбрав в качестве точки приведения точку С и введя орт , направленный так же, как и сила тяжести, т.е. вертикально вниз:

. (5)

Так как в векторном произведении (5) перемножаемые векторы не лежат на одной прямой и орт не равен нулю, то должен быть равен нулю вектор в круглых скобках. Отсюда находим радиус- вектор центра силового воздействия Земли на тело, который называют центром тяжести тела

Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 870; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!