Диференціал функції

Приклад 15.

Похідні вищих порядків

Приклад 14.

Знайти похідну функції .

Розв’язок.

Прологарифмуємо обидві частини функції й перетворимо вираз:

.

Тепер диференціюємо рівняння, як неявно задану функцію:

;

;

;

;

Оскільки , то остаточно отримуємо:

.

Похідною 2-го порядку від функції називається похідна від її першої похідної, тобто:

.

Аналогічно, похідною 3-го порядку від функції називається похідна від її другої похідної, тобто:

.

Таким чином, похідною -го порядку від функції називається похідна від похідної -го порядку, тобто:

.

Отже, для знаходження похідної -го порядку необхідно послідовно знаходити похідну першого, потім другого, потім третього і т.д. до -го порядку.

Знайти третю похідну функції .

Розв’язок.

Із визначення похідної і властивостей границі випливає, що якщо

то ,

де – нескінченно мала величина ().

Виражаємо і отримуємо, що:

.

Оскільки , то надалі частину приросту функції можна не враховувати і ми одержимо:

Основна частина приросту функції, лінійна щодо приросту незалежної змінної , називається диференціалом функції і позначається або :

.

Оскільки диференціал , то диференціал функції дорівнює добутку похідної функції на диференціал аргументу:

.

Таким чином, для знаходження диференціала функції, необхідно знайти її похідну і помножити її на диференціал незалежної змінної .

Дата добавления: 2015-05-26; Просмотров: 659; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!