Часть III. Электричество и магнетизм 2 страница

В произвольной точке М, удаленной от оси проводника на расстояние b (рис. 11), векторы от всех элементов проводника с током I имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей.

По закону Био-Савара-Лапласа модуль вектора магнитной индукции в точке М поля, созданного элементом проводника с током I:

.

В качестве переменной интегрирования выберем угол , выразив через этот угол все остальные величины.

Из рисунка 11 следует, что , а с другой стороны, .

Тогда , а модуль вектора магнитной индукции в точке М:

.

Из прямоугольного треугольника DOM:

, откуда .

Следовательно, индукция dB, создаваемая элементом проводника dl с током I:

.

Теперь можно перейти к интегрированию:

.

Так как угол для прямого тока изменяется в пределах от до , то магнитная индукция поля прямого тока:

.

Следовательно,

.

Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Для нахождения индукции магнитного поля в центре кругового проводника с током необходимо разбить этот проводник на элементы , причем все элементы проводника с током создают в центре кругового тока магнитные поля одинакового направления – вдоль нормали к плоскости витка (рис. 12).

По закону Био-Савара-Лапласа модуль вектора :

.

Так как все элементы проводника перпендикулярны соответствующим радиусам-векторам (рис. 12), то sin a = 1 для всех элементов . Расстояния r для всех элементов проводника также одинаковые (r = R).

Тогда выражение для модуля вектора примет вид:

.

Теперь для нахождения модуля вектора можно перейти к интегрированию:

.

Следовательно, индукция магнитного поля B в центре кругового проводника радиусом R с током I:

.

Тема 4. Действие магнитного поля на проводник с током (закон Ампера) и на движущийся заряд (сила Лоренца)

Закон Ампера. На элемент проводника с током I, помещённый в магнитное поле с индукцией действует сила ( – сила Ампера): .

где – угол между векторами и .

Направление вектора можно определить по правилу левой руки: если силовые линии входят в ладонь, а четыре вытянутых пальца располагаются по току, то отведённый большой палец укажет направление силы Ампера (рис. 13, сила перпендикулярна плоскости рисунка).

Модуль вектора : ,

где α – угол между векторами и .

Тема. 5. Магнитный поток. Теорема Гаусса для магнитного поля

Поток вектора магнитной индукции ( или магнитный поток) через произвольную площадку S характеризуется числом силовых линий магнитного поля, пронизывающих данную площадку S. Если площадка S расположенаперпендикулярно силовым линиям магнитного поля (рис. 15), то поток Ф_B

вектора индукции через данную площадку S: .

Рис. 15 Рис. 16

Если площадка S расположена неперпендикулярно силовым линиям магнитного поля (рис. 16), то поток Ф_B вектора индукции через данную площадку S:

,

где α – угол между векторами и нормали к площадке S.

где α – угол между векторами и нормали к данной площадке dS;

– вектор, равный по величине площади площадки dS и направленный по вектору нормали к данной площадке dS.

Тогда поток вектора через произвольную поверхность S равен алгебраической сумме элементарных потоков через все элементарные площадки dS, на которые разбита поверхность S, что приводит к интегрированию:

.

Теорема Гаусса для магнитного поля

.

С другой стороны, число линий магнитной индукции, входящих внутрь объема, ограниченного этой замкнутой поверхностью, равно числу линий, выходящих из этого объема (рис. 18). Поэтому, с учетом того, что поток вектора индукции магнитного поля считается положитель­ным, если силовые линии выходят из поверхности S, и отрицательным для линий, входящих в поверхность S, суммарный поток Ф_B вектора индукции через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю, то есть:

,

что составляет формулировку теоремы Гаусса для магнитного поля.

Тема. 6. Явление электромагнитной индукции. Закон Фарадея

Явление возникновения электрического тока в замкнутом проводящем контуре в результате изменения магнитного потока, пронизывающего этот контур, называется явлением электромагнитной индукции. Возникновение индукционного электрического тока в контуре указывает на наличие в этом контуре электродвижущей силы, называемой электродвижущей силой (ЭДС) электро­магнитной индукции.

Согласно закону Фарадея, величина ЭДС электро­магнитной индукции определяется только скоростью изменения магнитного потока, пронизывающего проводящий контур, а именно:

величина ЭДС электро­магнитной индукции прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего проводящий контур:

(закон Фарадея).

Направление индукционного тока в контуре определяется по правилу Ленца: индукционный ток в контуре всегда имеет такое направление, что создаваемое этим током магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшему этот индукционный ток.

Закон Фарадея с учетом правила Ленца можно сформулировать следующим образом: величина ЭДС электро­магнитной индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром, то есть:

(закон Фарадея с учетом правила Ленца).

Тема 7. Циркуляция вектора магнитной индукции

Циркуляцией вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру L называется интеграл:

.

Для того, чтобы найти циркуляцию вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру L, необходимо выбрать направление обхода контура, разбить этот контур L на элементы , для каждого элемента рассчитать величину (a – угол между векторами и ), а затем все эти величины сложить, что приводит к искомому интегралу.

Однако циркуляцию вектора по произвольному замкнутому контуру L можно рассчитать, используя теорему о циркуляции вектора .

Теорема о циркуляции вектора : циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру L равна произведению магнитной постоянной m ₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром L:

,

где n – число проводников с токами, охватываемых контуром L. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным.

Величина , где a – угол между векторами и может быть записана в виде скалярного произведения векторов и , то есть, как , а полученное соотношение для циркуляции вектора примет вид:

.

Магнитное поле претерпевает изменения при переходе из одного вещества в другое, что определяется магнитными свойствами вещества, которые характеризуются величиной магнитной проницае­мости среды (m).

Кроме вектораиндукции магнитного поля, учитывающего магнитные свойства вещества, для описания магнитного поля введен также и вектор напряженности магнитного поля, причем для однород­ной изотропной среды вектор магнитной индукции связан с вектором напряженности магнитного поля следующим соотношением:

,

где m ₀ – магнитная постоянная, m – магнитная проницае­мость среды.

Поскольку для вакуума m = 1, то с учетом приведенного соотношения может быть получена циркуляция вектора напряженности по произвольному замкнутому контуру L в следующем виде:

,

то есть циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром L.

Сравнивая векторные характеристики электростатического ( и ) и магнитного ( и ) полей, следует отметить, что аналогом вектора напряженности электростатического поля является вектор магнитной индукции , так как векторы и определяют силовые действия этих полей и зависят от свойств среды, а аналогом вектора электрического смещения является вектор напряженности магнитного поля.

Дата добавления: 2015-05-26; Просмотров: 369; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!