КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Дискретизація рівняння
|
|
|
|
Побудова сітки
Розглянемо один із простіших способів побудови сітки.
Нехай на площині 
є деяка область W з границею Г. Побудуємо на площині дві сім’ї паралельних прямих
точки перетину цих прямих називають вузлами сітки.
Два вузли називають сусідніми, якщо вони віддалені один від одного на відстань кроку у відповідному напрямку. Сукупність сусідніх з вузлом 
вузлів
утворюють п’ятиточкову зірку з центром в точці 
Вузол називають внутрішнім вузлом, якщо всі вузли його зірки лежать в області W + Г.
Вузол називають граничним вузлом, якщо хоча б один із вузлів зірки не належить області W + Г.
Значення шуканої функції у вузлах сітки позначатимемо 
.
В кожному внутрішньому вузлі 
замінимо частинні похідні скінченними різницями, тобто
В граничних точках слід використовувати формули
Задача Діріхле
Нехай задано рівняння Пуассона
,
яке на межі 
області 
задовольняє граничні умови
Таку крайову задачу називають задачею Діріхле.
Побудувавши сітку 
Нехай 
Замінивши частинні похідні скінченними різницями, отримаємо рівняння
Підставляючи в це рівняння конкретні значення i, j отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, яку розв’язуємо одним із відомих методів.
Якщо 
, то таке рівняння називають рівнянням Лапласа.
Приклад 1. Розв’язати граничну задачу
,
| u 12 |
| u 22 |
| u 32 |
| u 42 |
| u 20 |
| u 30 |
| u 40 |
| u 01 |
| u 11 |
| u 21 |
| u 31 |
| u 41 |
| u 13 |
| u 23 |
| u 33 |
| u 43 |
| u 04 |
| u 14 |
| u 24 |
| u 34 |
| u 44 |
| u 02 |
| u 00 |
| 0 0,25 0,5 0,75 1 x |
| y 0,75 0,5 0,25 |
| u 10 |
| u 03 |
Нехай 
Проведемо дискретизацію області та порахуємо значення функції в граничних вузлах. З граничної умови 
отримаємо
, 
, 
, 
, 
;
з граничної умови 
будемо мати
, 
,
, 
, 
;
з граничної умови 
будемо мати
, 
, 
, 
, 
;
з останньої граничної умови :
, 
, 
, 
, .
Значення у внутрішніх вузлах визначимо за формулою
Отже,
Складемо систему з дев’яти рівнянь. Отримаємо
, 
Розв’язавши систему, отримаємо
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
.
Отже, розв’язком даної задачі буде (значення функції у вузлах сітки)
Задача теплопровідності
Розглянемо рівняння параболічного типу
яке задовольняє початкову умову
та граничні умови
,
, де 
Класичним прикладом такої задачі є задача теплопровідності або дифузії.
Зауваження. Якщо зробити заміну 
то отримаємо рівняння
яке і розглядатимемо далі.
Побудуємо сітку 
та дискретизуємо початкову та граничні умови. Отримаємо
, 
, 
.
| (i +1, j) |
| (i -1, j) |
| (i, j) |
| (i, j +1) |
Тоді
Побудовану схему називають явною скінчено-різницевою схемою.
Зауваження. Для того, щоб явна скінченно-різницева схема була стійка та збігалась до розв’язку необхідно, щоб для вибраних кроків виконувались нерівності
| (i +1, j) |
| (i -1, j) |
| (i, j -1) |
| (i, j) |
Тоді
Таку схему називають неявною скінчено-різницевою схемою.
Якщо вибрати кроки так, щоб 
, то у випадку явної схеми будемо мати
а у випадку неявної –
Якщо для явної схеми вибрати 
, то отримаємо
Приклад 2. Розв’язати рівняння методом сіток
,
Розв’язання. Виберемо крок по осі х 
і нехай
Отже, 
Тоді скінченно-різницеве рівняння буде мати вигляд
Порахуємо значення функції в граничних вузлах.
З початкової умови будемо мати
З граничної умови 
отримаємо
, 
, 
, 
, 
;
a з граничної умови 
будемо мати
, 
,
Обчислимо внутрішні значення
Результати обчислень значення функції 
занесемо в таблицю:
| i | ||||||
| j | xi tj | 0,0 | 0,5 | 1,0 | 1,5 | 2,0 |
| 0,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | |
| 0,125 | 1,125 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,125 | |
| 0,250 | 1,250 | 
| 1,000 |
| 1,250 | |
| 0,375 | 1,375 | 1,125 | 1,063 | 1,125 | 1,375 | |
| 0,500 | 1,500 | 1,219 | 1,125 | 1,219 | 1,500 |
Розв’язана гранична задача описує розподіл температури в однорідному стержні довжиною 2, а отримані результати - характер охолодження стержня з бігом часу.
|
|
|
|
|
Дата добавления: 2015-05-10; Просмотров: 529; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!