Тема 2. Переходные процессы в RC-цепях

Электрическая принципиальная схема интегрирующей RC-цепи представлена на рис. 2.4(а). Коммутация напряжения на входе, рассмотренная ранее, эквивалентна подаче на вход прямоугольного импульса напряжения (рис. 2.4(б)). Как было выведено ранее, характер изменения функции U_C (t)= U_вых в общем случае выражается следующими зависимостями:

- нарастающая экспонента для 0 £ t £ t_и;

- убывающая экспонента для t > t_и, где - значение напряжения, до которого успел зарядиться конденсатор в период действия импульса.

Рис. 2.4. Интегрирующая RC-цепь и временные диаграммы напряжений.

Разряд конденсатора после прекращения действия импульса приводит к тому, что выходной импульс будет иметь большую продолжительность, чем входной. Происходит расширение импульса без сохранения его формы, поэтому такая RC-цепь называется расширяющей.

Поскольку , а , то

.

Так как , то

.

Рассмотрим случай, когда . Поскольку , следовательно , и можно записать:

,

то есть на выходе интеграл от входного напряжения. Отсюда очевидно название рассмотренной цепи – интегрирующая. Эта цепь используется, в частности, для получения линейно изменяющегося напряжения. Для этого на вход интегрирующей цепи подается постоянное напряжение . Тогда получаем

,

то есть на выходе линейно изменяющееся напряжение (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Графики изменения идеального и реального выходных напряжений интегрирующей RC-цепи.

В отличие от рассмотренного идеального случая, в реальной цепи

.

Найдем производную по t от функции идеального выходного напряжения:

.

Аналогично для функции реального выходного напряжения производная запишется:

.

При t =0 ,

т.е. в нуле производные реальной и идеальной функций совпадают, а в дальнейшем - расходятся. За меру расхождения на интервале [0, t_и ] принимают коэффициент нелинейности - относительное изменение производной:

.

Для случая можно воспользоваться формулой разложения функции : при . Тогда

,

т.е. чем больше t при данном значении t_и, тем меньше ß. Реальная функция U_вых.р в этом случае ближе к идеальной U_вых.ид.

2-3. Разделительная дифференцирующая RC-цепь.

Электрическая принципиальная схема разделительной дифференцирующей RC-цепи и её временные диаграммы представлены на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Разделительная дифференцирующая RC-цепь и временные диаграммы напряжений.

Как было показано ранее, меняется по закону:

для 0 £ t £ t_и,

для t > t_и.

При рассматриваемая RC-цепь выполняет функции разделительной цепи, назначение которой передать входное напряжение с наименьшими искажениями и отделить при этом постоянную составляющую. Абсолютная величина завала вершины равна напряжению на конденсаторе в момент t_и снятия входного импульса, т.е.

.

Для случая , с учетом рассмотренного ранее разложения функции при получаем:

.

Оценкой качества разделительной цепи является величина относительного завала вершины g, которая определяется как:

.

Таким образом, завал вершины, а значит искажение входного импульса, тем меньше, чем больше постоянная времени цепи t при данном t_и. Если величина завала вершины несравненно мала, то импульс передается без искажения.

Рис. 2.7. Диаграммы входного и выходного напряжений разделительной цепи.

Из временной диаграммы рис. 2.7 видно, что амплитуда последовательности импульсов выходного напряжения постоянна, но при этом импульсы смещаются относительно нулевого уровня. В установившемся режиме площади под графиком S ₊ положительной и S _- отрицательной областей последовательности импульсов окажутся равными друг другу: S ₊ = S _-.

Доказать этот факт можно, рассмотрев диаграмму тока, протекающего через резистор (рис.2.8). Очевидно, что i ₁ t ₁ - это заряд Q_и, переносимый через емкость за время действия импульса на входе, а i ₂(t ₂- t ₁) – заряд Q_п, переносимый через емкость за время паузы между импульсами, т.е. в обратном направлении. Тогда общий заряд, переносимый через емкость за время, равное периоду импульса будет равен:

.

Поскольку постоянная составляющая через емкость не проходит , следовательно, или . Поскольку , а сопротивление – величина постоянная, то значит и равны S ₊ и S _- на диаграмме U_вых. Таким образом, для разделительной цепи необходимо выполнение условия: .

Рис. 2.8. Диаграмма тока, протекающего через резистор разделительной RC-цепи.

Поскольку , а , то

Продифференцируем обе части полученного уравнения. Получим

Так как , то .

Рассмотрим случай . Поскольку , то можно записать . Тогда

.

Из полученной формулы следует название такой цепи – дифференцирующая. Для дифференцирующей цепи должно выполняться условие , т.е. конденсатор должен успевать быстро перезаряжаться при данном t_и. Диаграммы входного и выходного напряжений дифференцирующей цепи для последовательности импульсов представлены на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Диаграммы входного и выходного напряжений дифференцирующей RC-цепи.