Явища переносу в ХТП

Прикладами внутрішніх джерел і стоків являються:

1. Хімічні реакції – джерела одних речовин і стоки інших, а також джерела (стоки) тепла.

2. Теплообмінна поверхня в системі (змійовик) – джерело або стік тепла.

3. Масообмінна поверхня (насадка) в системі – джерело або стік речовини (маси).

4. Мішалка в апараті – джерело кількості руху.

Основною характеристикою джерела (стоку) субстанції є щільність джерела (стоку), тобто кількість субстанції, що виділяється або поглинається в одиниці об’єму за одиницю часу.

Наприклад:

Щільність джерела маси

Щільність джерела тепла

Щільність джерела кількості руху

Таким чином, щільність джерела кількості руху дорівнює силі, що діє на 1 м³ рідини, або градієнту тиску в даній точці.

2. Механізми і закони переносу

Існує два механізми переносу субстанції із однієї точки системи в другу - молекулярний і конвективний.

Молекулярний перенос (мікроперенос) – це перенос субстанції мікрочастинками, що здійснюють хаотичний тепловий рух.

В газах і рідинах перенос здійснюється молекулами, в металах – вільними електронами (перенос енергії), в кришталевих тілах – атомами, що здійснюють коливання в узлах решітки.

Для визначення швидкості мікропереносу виділимо в тілі множину точок, в яких значення потенціалу j однаково (ізопотенціальна поверхня).

Хай на деякій відстані Dn від точки О по нормалі до поверхні значення потенціалу становить j + Dj. Зміна потенціалу в т. О на одиницю відстані по нормалі до ізопотенціальної поверхні називається абсолютною величиною градієнта потенціалу в т. О.

– абсолютна величина градієнта потенціалу в т. О.

Градієнт потенціалу в т. О – це вектор, направлений по нормалі до ізопотенціальної поверхні в т. О в сторону зростання потенціалу переносу..

,

де - одиничний нормальний вектор в т. О, направлений в сторону зростання потенціалу.

Градієнт потенціалу може бути представлений як сума його проекцій на вісі координат.

,

Перенос субстанції в т. О відбувається в напрямі, протилежному вектору градієнта потенціалу, тобто:

,

де К – коефіцієнт пропорційності, що дорівнює щільності потоку при значенні

Таким чином, вектор щільності потоку в т. О при молекулярному механізмі переносу прямо пропорційний градієнту потенціалу в даній точці і направлений в протилежну сторону (градієнтний закон переносу).

Конвективний перенос (макроперенос) – це перенос субстанції потоком рідини, тобто макрочастинками рідини.

Хай - швидкість рідини в т. О.

j - потенціал переносу, тобто концентрація субстанції в даній точці. Проведемо через точку О площину перпендикулярну і виділимо на ній площадку

DS = м². За одиницю часу всі точки цієї площадки перемістяться на відстань w, а об’єм рідини, що пройде через цю площадку, дорівнює об’єму паралелепіпеда перерізом DS = м² і довжиною w. Кількість субстанції, що перенесена цією рідиною за одиницю часу, тобто щільність потоку:

Таким чином, швидкість конвективного переносу субстанції в т. О дорівнює добутку швидкості рідини на величину потенціалу переносу в даній точці.

3. Основне рівняння переносу

Це рівняння, яке визначає зміну потенціалу переносу в будь-якій точці системи з часом, тобто:

= f (x, y, z, t)

Воно може бути отримано на основі балансу субстанції в довільному об’ємі V потоку рідини.

Хай - щільність потоку субстанції в різних точках поверхні, що обмежує обраний об’єм.

g₁, g₂, …g_n – щільність внутрішніх джерел субстанції в різних точках об’єму.

Внаслідок переносу і наявності внутрішніх джерел кількість субстанції в обраному об’ємі буде змінюватись з часом.

Зміна кількості субстанції в обраному об’ємі за одиницю часу називається накопиченням. Накопичення може бути додатним (позитивним), якщо кількість субстанції в обраному об’ємі збільшується, або від’ємним (негативним), якщо кількість субстанції в системі зменшується.

Загальне накопичення субстанції в об’ємі V складає:

М_нак = М_пер + М_джер

Для визначення першої складової виділимо на поверхні, що обмежує обраний об’єм, елементарну площину dS і визначимо кількість субстанції, що вноситься або виноситься через неї, за допомогою приведених нижче векторних схем.

Хай – одиничний нормальний вектор в даній точці поверхні, направлений із обраного об’єму в навколишнє середовище;

- щільність потоку субстанції в даній точці;

a - кут між векторами і .

Кількість субстанції, що вноситься через площину dS:

Кількість субстанції, що вноситься через площину dS:

Позначимо – вектор елементарної площини, направлений із обраного об’єму в навколишнє середовище. Тоді накопичення субстанції в об’ємі V за рахунок переносу через всю замкнуту поверхню S складає:

Кількість субстанції, що накопичується в об’ємі V за рахунок внутрішніх джерел:

Загальне накопичення субстанції в об’ємі V за рахунок внутрішніх джерел і переносу:

З іншої сторони зміна кількості субстанції в обраному об’ємі може бути визначена через швидкість зміни потенціалу переносу в кожній точці:

Рівняння балансу субстанції в обраному об’ємі має вигляд:

По теорії Гауса – Остроградського інтеграл по замкнутій поверхні від вектора потоку дорівнює інтегралу по об’єму від дивергенції вектора потоку:

де – зменшення кількості субстанції за одиницю часу в одиничному об’ємі (м³) внаслідок переносу через замкнуту поверхню.

– скалярна величина

Тоді рівняння балансу субстанції в обраному об’ємі можна записати так:

Відомо, що інтеграл по обєму від деякої функції дорівнює 0 тільки в тому випадку, якщо сама функція дорівнює 0.

Таким чином:

- основне рівняння переносу (добавить коментарии)

Основне рівняння переносу представляє баланс субстанції в 1 м³ за 1 сек при наявності переносу і внутрішніх джерел.

Воно справедливо для гідромеханічних теплових і масообмінних процесів і дозволяє просто вивести диференційні рівняння, що визначають розподіл швидкостей рідини, температури, концентрації рідини в даній системі.

Берд Р., В. Стюарт, Е. Лайтфут. Явление переноса/ Пер. с англ.. под. ред.. Н.М. Жаворонкова и В.А. Малюсова. – М.: Химия, 1974, 687 с.