Моделювання процесів у складних медико-бюлопчних системах

За певних умов розв'язки, що відповідають стійкому вузлу (фокусу), можуть стати нестійкими і відбувається перехід у два нових стійких вузли. При відмінній від нуля уявній частині коренів характеристичного рівняння вузли перетворюються, очевидно, в фокуси.

2. Біфуркація Хопфа із фокуса в граничний цикл.

Для цього випадку, вивченого вперше Хопфом, корені характе­ристичного рівняння є комплексно-спряженими числами

При корені наближаються до уявної вісі.

У результаті первинно стійкий фокус перетворюється у граничний цикл, тобто у системі виникають періодичні в часі коливання.

3. Біфуркації граничного циклу. При подальшій зміні керуючих параметрів можуть відбутися нові перебудови фазових траєкторій системи, при яких можливі такі біфур­кації: а) старий граничний цикл переходить в новий один або більше граничних циклів у одній і тій самій площині; б) старий двовимірний граничний цикл переходить у триви­мірний граничний цикл, до того ж у випадку незамкнутих траєкторій виникає рух зображуючої точки по поверхні тора; в) старий граничний цикл з періодом переходить у новий, рухаючись по якому система повертається у початковий стан за час (біфуркація подвоєння періоду).

Рис. 5.10. Фазовий портрет дивного аттрактора.

4. Дивні аттрактори. При зміні керуючих параметрів фазова траєкторія, що являє собою рух по тору, може стати нестійкою і хаотич­ною. У цьому випад­ку, який отримав на­зву дивного аттрактора, траєкторії руху зображуючої точки у фазовій площині стають недетермінованими (рис. 5.10). Якщо для простих аттракторів (стійких особливих точок і граничних циклів) усі фазові траєкторії стягуються у близьке оточення цих точок або граничного циклу, то для дивного аттрактора усі фазові траєкторії розбігаються і хаотично перемішуються, залишаючись в області тяжіння дивного аттрактора.

Зручним методом аналізу стійкості фазових траєкторій є дослідження так званих показників Ляпунова. Не вдаючись у достатньо тонкі і складні математичні деталі, показники Ляпунова можна визначити як узагальнення показника степені у виразі для експоненціального в часі розв'язку який характеризує диференціальне рівняння

першого порядку довільного вигляду, а саме:

Кількість показників Ляпунова не повинна перевищу­вати розмірність простору, в якому задана шукана величина Тоді виявляється можливим сформулювати такі кри­терії для простих і дивних аттракторів у термінах показників Ляпунова (розглянемо для визначення тривимірний випадок):

а) якщо всі три показники Ляпунова від'ємні, то аттрактор - стійкий фокус;

б) якщо два показники від'ємні, а третій рівний нулю, то ат трактор - граничний цикл;

в) якщо один показник від'ємний, а два інші дорівню­ють нулю, то аттрактор - стійкий тор;

г) якщо один з показників Ляпунова виявляється додат­нім, то стає можливим хаотичний рух зображуючої точки. Так, при виникає дивний (хаотичний) аттрактор, до того ж фазові сусідні траєкторії швидко розходяться при незначній зміні початкових умов. Одним з перших прикладів дивного аттрактора стала гідродинамічна (метеорологічна) модель Лоренца, розв'язки якої виявили хаотичне розбігання фазових траєкторій в силу ефектів турбулентності і неточності завдання початкових умов. Зауважимо, що при або при фазові портрети системи є відповідно нестійкий тор або нестійкий граничний цикл, які не є аттракторами.

Для встановлення універсальних закономірностей в самоорганізованих системах, які мають різні геометричні розміри, розуміння ролі їх спонтанного ускладнення, наяв­ності в них просторово корельованих областей широко за­лучаються методи кінетичних моделей, які були покладені в основу сучасної теорії дисипативних структур (І. Р. Пригожин, Г. Ніколіс, П. Гленсдорф та ін.).

В якості конкретного прикладу кінетичної моделі розглянемо відому модель "хижак-жертва", яку запропо­нували А. Лотка і В. Вольтера. Система нелінійних диференціальних рівнянь цієї моделі має вигляд:

(5.21)

Перше рівняння описує динаміку чисельності першого типу тварин - "жертв" (наприклад, зайців), які живляться рослинами. Перший доданок у правій частині цього рівнян­ня описує природне розмноження жертв, тоді як другий - їх зменшення від зустрічей з "хижаками" (наприклад, рисями). Друге рівняння характеризує динаміку зміни чисельності хижаків: перший доданок у правій частині задає збільшення хижаків, які живляться жертвами, а другий - природне зменшення жертв при відсутності цієї їжі.

Проведемо аналіз моделі "хижак-жертва". Стаціонар­ний розв'язок моделі визначається з такої системи рівнянь:

(5.22)

Лінеаризація рівнянь системи (5.21) поблизу стаціонар­ного розв'язку дає

(5.23)

Шукаючи розв'язок цієї системи у вигляді

(5.24)

отримуємо характеристичне рівняння:

або

звідки отримуємо шукані корені

(5.25)

Таким чином, відповідно до класифікації особливих точок по А. Пуанкаре отримана особлива точка в моделі "хижак-жертва" є центр (або граничний цикл). Фазові криві становлять замкнуті траєкторії.

Оскільки для малих збурень виконуються співвідношення вигляду

(5.26)

то цей результат відображає те, що ми спостерігаємо в реальних умовах, тобто експериментально, а саме: періо­дичну зміну чисельності популяцій хижаків і жертв (рис. 5.11).

Рис. 5.11. Періодична зміна чисельності популяції в екологічній системі "хижак (рисі) - жертва (зайці)" за даними "Хадсон-Бей" (з книги Г. Хакена "Синергетика").

Недолік розглянутої вище моделі Лотка-Вольтерра - її "негрубість". Іншими словами, випадкові зміни чисельності одного з видів змінюють амплітуди коливань кожного виду. В реальності такого не спостерігається. Покращання моделі Лотка-Вольтерра пов'язане з врахуванням самообмежень в зростанні чисельності обох популяцій, що описується вве­денням останніх (третіх) доданків у рівняння такої моделі:

(5.27)

Дослідження особливих точок для такої покращаної моделі показує, що коли при особлива точка становить центр або граничний цикл (негруба система), то при особлива точка є вже стійкий фокус або стійкий вузол, тобто система стає грубою. Ще одним популярним прикладом кінетичних моделей процесів самоорганізації, як вже відзначалося, є модель "брюсселятора" (Пригожий, Ніколіс, Лефевр), яка описує хімічний автокаталітичний процес. Близька до "брюсселя­тора" кінетична модель "орегонатора" була запропонована і досліджена Філдом і Ноейсом. Зокрема, модель "орегонато­ра" описує автохвильові процеси, які виникають в періодич­ній окисно-відновній реакції Бєлоусова-Жаботинського.

5.5. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ "ТЕРМОДИНАМІКА ВІДКРИТИХ БІОЛОГІЧНИХ СИСТЕМ"

Мета заняття:

1. Вивчити основні положення термодинаміки відкри­тих біологічних систем, що обмінюються речовиною та енергією з навколишнім середовищем.

2. Навчитися застосовувати термодинамічні методи для дослідження відкритих медико-біологічних систем.