Вопрос 26.Собственные векторы и собственные числа матрицы

По рекуррентным формулам

По моментам весовой функции

Весовая функция , заданная на промежутке , однозначно определяет систему ортогональных многочленов с точностью до постоянного множителя. Обозначим через числа

моменты весовой функции, тогда многочлен может быть представлен в виде:

.

Сложность вычисления ортогональных полиномов определяется сложностью вычисления определителя матрицы. Существующие алгоритмические реализации вычисления требуют минимум операций.

Если выбрать нормировку многочлена таким образом, что коэффициент при главное члене равен единицы, рекуррентное соотношение может быть переписано в следующем виде:

где

.

Пусть дано линейное пространство R_n и действующий в нем линейный оператор A; в этом случае оператор A переводит R_n в себя, то есть A:R_n → R_n.

Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором оператора A, если оператор A переводит в коллинеарный ему вектор, то есть . Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору .

Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.

1. Любая линейная комбинация собственных векторов оператора A, отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.

2. Собственные векторы оператора A с попарно различными собственными числами λ₁, λ₂, …, λ_m линейно независимы.

3. Если собственные числа λ₁=λ₂= λ_m= λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.

Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 632; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!