Теорема об ортоцентре треугольника. Все высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке

1). Медиана АА₁ пересекает АВ в точке А₁. Медиана ВВ₁ пересекает АС в точке В₁. Тогда А₁В₁– средняя линия.

2). Рассмотрим D АОВ и D А₁ОВ₁.

3). Из подобия треугольников:

4). Аналогично доказывается, что точка О делит медиану СС₁ в отношении 2:1.

Доказать: АА₁ ∩ ВВ₁ = {O}; АА₁ ∩ СС₁ = {O}.

Доказательство:

1. Проведем через каждую вершину треугольника прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник А₂В₂С₂.

2. Рассмотрим D АВС и D АВС₂.

2. Рассмотрим D АВС и D А₂ВС и аналогично докажем, что

3. Рассмотрим D АВС и D В₂АС и аналогично докажем, что

4.

5. Аналогично докажем, что АА₁ – серединный перпендикуляр к отрезку В₂С₂, а СС₁ – серединный перпендикуляр к отрезку В₂А₂.

6. Отрезки В₂С₂, В₂А₂ и А₂С₂ образуют треугольник А₂В₂С₂, в котором серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке. Следовательно, высоты треугольника АВС пересекаются в одной точке.

12. Доказать признаки подобия треугольников.

Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.