Понятие логарифмического вычета

Частотный критерий устойчивости (критерий Найквиста)

Часто рассмотрению подлежат замкнутые системы, структурные схемы которых могут быть приведены к типовому виду, представленному на рис. 2.41. Как правило, передаточная функция разомкнутой системы имеет относительно простой вид и несложно определить расположение её полюсов относительно мнимой оси. Таким образом, предполагается, что анализ устойчивости разомкнутой системы проведён. В то же время анализ устойчивости замкнутой системы представляет собой нетривиальную задачу. Критерий устойчивости Найквиста оперирует с частотными характеристиками, достаточно нагляден и позволяет использовать физические представления о свойствах исследуемой системы. Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости системы в замкнутом состоянии по частотным характеристикам разомкнутой системы.

Пусть задана некоторая функция , аналитичная всюду в области , за исключением конечного числа изолированных особых точек. Будем полагать, что все особые точки являются полюсами. Будем полагать также, что граница области не содержит ни нулей, ни полюсов функции .

Рассмотрим логарифмическую производную функции

(2.9.22)

и назовем логарифмическим вычетом функции в точке вычет в этой точке ее логарифмической производной

. (2.9.23)

Пусть функция имеет в точке ноль порядка , то есть

,

где

.

Тогда

и

. (2.9.24)

Отметим, что полюсы функций и совпадают. Так как нули аналитической функции изолированы, то в достаточно малом круге функция является аналитической и может быть разложена в окрестности точки в ряд Тейлора:

.

С учётом этого (2.9.24) превращается в

.

Эта формула представляет собой разложение в ряд Лорана функции в окрестности точки . Из этой формулы следует, что точка является полюсом первого порядка функции и

. (2.9.25)

Пусть теперь функция имеет в точке полюс кратности , то есть

,

где b не является ни нулём, ни полюсом функции . Тогда

и

.

По аналогии с предыдущим случаем получим, что в окрестности точки

,

следовательно,

. (2.9.26)

Таким образом, в нулях и полюсах функции ее логарифмическая производная (2.9.22)

имеет полюсы первого порядка, причем в нуле функции логарифмический вычет равен порядку нуля, а в полюсе – взятом со знаком минус порядку полюса.

По теореме вычетов имеем

,

или окончательно

, (2.9.27)

где – число нулей, а –число полюсов функции в области G.

Дата добавления: 2015-03-31; Просмотров: 658; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!