Признаки сравнения, признак Даламбера и Коши, интегральный признак для числовых рядов с неотрицательными членами

Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.

Числовые ряды с неотрицательными членами.

Числовой ряд называется рядом с положительными членами, если общий член ряда а_п >0 для любого n=1,2,.... Критерием сходимости для таких рядов служит ограниченность последовательности частичных сумм ряда.

При решении задач на сходимость рядов первым шагом является проверка выполнения необходимого условия сходимости, т.е.

Теорема 5,2. Для того чтобы ряд с положительными члена­ми сходился, необходимо и достаточно, чтобы последователь­ность его частичных сумм была ограничена.

Признак Даламбера (в предельной форме). Пусть для числового ряда с положительными членами существует конечный предел . Тогда при d <1 ряд сходится, а при d>1 ряд расходится.

Первый признак сравнения. Пусть члены двух числовых рядов с положительными членами и удовлетворяют условию a_n<=b_n (n=1,2,…). Тогда из сходимости «большего» ряда следует сходимость «меньшего» ряда , а из расходимости «меньшего» ряда следует расходимость «большего» ряда.

Второй признак сравнения. Пусть для двух числовых рядов с положительными членами и существует конечный предел . Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Интегральный признак сходимости. Пусть члены числового ряда a_n=f(n) являются значениями неотрицательной непрерывной функции f(x), монотонно убывающей на луче [1; + oo). Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Признак Коши. Пусть для числового ряда с положительными членами существует конечный предел . Если к < 1, то ряд сходится, а при к > 1 ряд расходится.

Дата добавления: 2015-03-29; Просмотров: 1188; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!