Применение критерия согласия Пирсона

Подбор функции (закона) распределения случайной величины

Для изучения закона распределения случайной величины Х (экспериментальные данные) полезно построить гистограмму относительных частот. Наглядность отображения гистограммой закона распределения вероятности зависит от соблюдения следующих правил при ее построении:

1)интервалы х, на которые разбивается ось абсцисс, следует выбирать, по возможности, одинаковыми;

2)число интервалов k устанавливать в соответствии со следующими рекомендациями:

3)масштаб выбирать таким, чтобы высота гистограммы относилась к основанию примерно, как 5 к 8.

Вся область изменения экспериментальных данных разбивается на интервалы, оптимальная длина которых

или ,

(46)

а начальная точка отсчета

.

(47)

Заметим, что в большинстве случаев все значения Х должны быть положительны (распределение Вейбулла, логарифмически нормальное распределение и др.), поэтому в таких случаях, если х₀<0, принимают х₀=0.

На практике эти формулы используют не всегда, так как длина интервала определяется естественно, в зависимости от точности прибора, с помощью которого производится измерение величины Х. Далее находят границы интервалов и подсчитывают количество значений x_i, попавших в каждый интервал, которое принимается за частоту n_i попадания величины Х в заданный интервал. Если при этом граница интервала совпадает с одним из значений x_i, то к частотам для каждого интервала подсчитывают относительную - частоту

. (48)

Гистограмма относительных частот (рис. 3.6.2.1) – это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями h_x и высоты w_i/h_x. Число w_i/h_x называют плотностью относительных частот. Отметим, что площадь гистограммы (всех построенных прямоугольников) равна 1, поскольку в нее входят все 100% наблюдений.

Соединив отрезками прямых середины верхних сторон прямо -угольников, получим ломаную линию, называемую полигоном. Если бы была возможность увеличивать число измерений n, то в пределе при n и 0 ( - цена деления шкалы прибора) полигон перешел бы в кривую плотности распределения f(x). Нормальное распределение имеет симметричную кривую плотности вероятности, поэтому и гистограмма должна представлять собой симметричную фигуру.

Если максимум на гистограмме сдвинут к нулю, то следует предполагать логарифмически нормальное распределение или распределение Вейбулла. По виду гистограммы эти законы трудно различить; можно лишь обратить внимание на то, что гистограмма при логарифмически нормальном распределении плотнее примыкает к оси ординат.

Возможно, что случайная величина, гистограмма которой изображена на рис. 3.6.2.2, распределена по логарифмически нормальному закону, а на рис. 3.6.2.3 – по закону Вейбулла.

Для идентификации неизвест ного закона распределения возможных значений измеряемой величины используют так называемые критерии согласия. Известны несколько критериев согласия. В зависимости от применяемых критериев согласия закон распределения представляется в виде плотности распределения, функции распреде ления или отношений центральных моментов случайной величины.

Наиболее часто на практике используется критерий согласия Пирсона (хи-квадрат, ), который можно применять для проверки допущения о любом распределении, даже не зная точного значения параметров распределения. Основным недостатком этого критерия является нечувствительность к обнаружению подходящей статистической модели при малом числе наблюдений.

При использовании этого критерия замеры расхождения экспериментальных данных с теоретическим законом распределения вероятности результата измерения (вероятность Р есть вероятность того, что за счет чисто случайных причин мере расхождения теоретического и эмпирического распределения должна быть не меньше, чем полученное по результатам измерений) принимается сумма квадратов отклонения частостей m_i/n от теоретической вероятности Р_i попадания отдельного значения результата наблюдения в i-й интервал, причем каждое слагаемое берется с коэффициентом n/P_i:

, (49)

Если расхождение случайно, то подчиняется - распределению.

Пусть произведено n независимых измерений некоторой величины Х, рассматриваемой как случайная. Задавшись значением интегральной функции распределения К. Пирсона F(), можно проверить больше или меньше ее аргумента вычисленное значение . Если меньше, то с выбранной вероятностью (Р_i) можно считать случайным числом, подчиняющимся - распределению К. Пирсона, т.е. признать случайным расхождение между эмпирической (опытной) и теоретической плотностью распределения вероятности результата измерения.

Если же окажется, что больше чем , то с той же вероятностью придется признать, что не подчиняется распределению К. Пирсона, т.е. гипотеза о соответствии эмпирического закона распределения вероятности теоретическому не подтверждается.

При проверке нормальности закона распределения вероятности результата измерения применение критерия согласия дает хорошие результаты только, если n>40…50. При меньшем числе наблюдений применяется так называемый составной критерий.

Результаты наблюдений случайной величины х, полученные в специально поставленном эксперименте, или на основании сбора статистических данных, представляют в виде вариационного ряда – последовательности измеренных значений величины, расположенных в порядке возрастания от наименьшего до наибольшего х₁ <х₂ <….< х_n. При этом наблюдения случайной величины х должны проводиться в практически одинаковых условиях, а исследуемая совокупность должна быть однородной.

Целесообразен следующий порядок работы:

1. Найти точечные оценки неизвестных параметров принятого распределения.

2. Подсчитать теоретическую вероятность p_i показания случайной величины в i-ом интервале по формуле

,

(50)

где и – границы i-ого интервала; – теоретическая функция распределения.

3. Вычислить теоретическую частоту (число наблюдений) для каждого интервала по формуле

,

(51)

где – общее число наблюдений (объем однородной выборки); – теоретическая вероятность i-ого интервала.

4. Условия применения критерия Пирсона требуют, чтобы ожидаемое (теоретическое) число наблюдений для каждого интервала было не менее 5. Если в каком-либо интервале окажется , то его нужно объединить с соседним интервалом (или интервалами) таким образом, чтобы суммарная теоретическая частота была не менее 5.

5. Вычислить критерий Пирсона:

,

(52)

где и – соответственно фактическое и ожидаемое числа значений случайной величины, попадающих в i-ый интервал; k – число интервалов, полученное после объединения по пункту 4.

6. Подсчитать число степеней свободы:

,

(53)

где k – число интервалов, для которых ; r – число параметров распределения F(x), для которых точечные оценки были найдены по данным выборки в п.1.

7. Сравнить полученное значение с критическими значениями квантилей распределения Пирсона, соответствующими полученному числу степеней свободы f (смотри табл. 4 приложения 3).

Пусть < < , где и – квантили из табл. 4 приложения 3, которые соответствуют вероятностям q₁ и q₂. Тогда с вероятностью qÎ[q₁, q₂] гипотеза о предполагаемом распределении с интегральной функцией F(x) не согласуется с истинным распределением. Если числа q₁ и q₂ малы, то выбранный закон не противоречит имеющимся данным с большой надежностью 1–qÎ[1–q₁, 1–q₂]. При больших (и q велико) вероятность, что гипотеза верна, то есть 1–q, близка к нулю и требуется дальнейшее исследование заданной выборки.

Дата добавления: 2015-04-30; Просмотров: 911; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!