Свойства вероятности

Классическое определение вероятности. Свойства вероятности

Классическое определение. Вероятностью события A называется отношение числа событий, благоприятствующих событию A, к общему числу единственно возможных, равновозможных и несовместных событий, т.е.

,

где вероятность события A;

число событий, благоприятствующих событию A;

общее число единственно возможных, равновозможных и несовместных

событий.

Это определение вплоть до ХІХ века рассматривалось как единственное определение вероятности события. Отметим, что до настоящего времени классическое определение вероятности не потеряло своего значения, так как именно с его помощью легче всего познакомиться со свойствами вероятности и основными теоремами теории вероятностей.

Пример 1. Найти вероятность того, что при подбрасывании идеально симметричной монеты выпадет герб.

Решение. При бросании монеты возможны два исхода – появление герба и появление решки, причем эти события являются единственно возможными, равновозможными и несовместимыми, т.е. .

Обозначим через - событие, состоящее в появлении герба. Тогда - число событий, благоприятствующих событию A. По классическому определению вероятности находим

.

Пример 2. Найти вероятность того, что при подбрасывании идеально симметричной игральной кости появится а) четное числа очков на верхней грани, б) появится шесть очков на верхней грани.

Решение. При бросании игральной кости возможны шесть исходов – появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков на верхней грани кости, причем эти события являются единственно возможными, равновозможными и несовместимыми, т.е. .

а) Обозначим через - событие, состоящее в появлении четного числа очков на верхней грани. Тогда появлению события благоприятствуют три события – появление 2, 4, 6 очков на верхней грани кости, т.е. . По классическому определению вероятности находим

.

б) Обозначим через C - событие, состоящее в появлении шести очков на верхней грани. Тогда появлению события благоприятствует только одно событие – появление 6 очков на верхней грани кости, т.е. . По классическому определению вероятности находим

.

Пример 3. Найти вероятность того, что при извлечении из тщательно перетасованной колоды, состоящей из 36 карт, появится «дама».

Решение. Общее число единственно возможных, равновозможных и несовместных событий . Обозначим через D - событие, состоящее в появлении дамы. Тогда - число событий, благоприятствующих событию D. По классическому определению вероятности находим

.

Пример 4. В урне находиться 4 белых и 3 черных шара. Найти вероятность того, что из урны будут извлечены два белых шара.

Решение. При решении этой задачи воспользуемся формулами комбинаторики (Приложение 1) Общее число единственно возможных, равновозможных и несовместных событий равно числу способов, какими можно выбрать 2 шара из 7:

.

Обозначим через событие, состоящее в появлении двух белых шаров (одновременно или последовательно). Тогда число исходов, блгоприятствующих событию равно числу способов, какими можно выбрать 2 белых шара из 4: .

По классическому определению вероятности находим

.

Пример 5. По условиям лотереи «Спортлото 6 из 45» участник, отгадавший 4,5,6 видов спорта из отобранных при случайном розыгрыше 6 видов спорта из 45, получает денежный приз. Найти вероятность того, что будут угаданы: а) все виды спорта; б) четыре вида спорта.

Решение. Общее число всех единственно возможных, равновозможных и несовместных событий, т.е. всех вариантов заполнения карточек спортлото, составляет

.

а) Пусть событие состоит в том, что угаданы все 6 цифр. Тогда существует только одна комбинация цифр, благоприятствующая событию , т.е. .

Определим вероятность события , пользуясь классическим определением вероятности

.

б) Пусть событие состоит в том, что угаданы 4 вида спорта среди 6 выигрышных. В начале найдем число способов, какими можно выбрать 4 вида спорта из 6 выигравших. Число таких способов равно числу сочетаний из 6 элементов по 4, т.е. . К каждой комбинации 4-х выигравших видов спорта среди 6 нужно присоединит композицию 2-х не выигравших видов из 45-6=39, т.е. . По правилу произведения общее число событий, благоприятствующих событию

.

Находим вероятность события , пользуясь классическим определением вероятности

.

Свойство 1. Вероятность невозможного события равна нулю

.

Доказательство. Так как – невозможное событие, то оно не может наступить ни при одной реализации комплекса условий . Поэтому нет ни одного события, благоприятствующего событию , т.е. . Вычисляя вероятность события, пользуясь классическим определением, находим

.

Свойство 2. Вероятность достоверного события равна единице

.

Доказательство. Так как U – достоверное событие, то оно наступает при каждой реализации комплекса условий . Поэтому число событий, благоприятствующих достоверному событию . Вычисляя вероятность события, пользуясь классическим определением, находим

.

Свойство 3. Вероятность любого события является неотрицательным числом, не превосходящим единицы

.

Доказательство. Поскольку число число событий, благоприятствующих событию , удовлетворяет неравенству

,

то, разделив неравенство на , получим

.

Согласно классическому определению вероятности , поэтому из последнего неравенства получаем

.

Докажем две элементарные теоремы.

Теорема. Если события и эквивалентны между собой, то их вероятности равны, т.е.

.

Доказательство. Пусть при реализации заданного комплекса условий может появиться единственно возможных, равновозможных и несовместных событий. Так как из определения эквивалентных событий следует, что каждый исход, благоприятствующий событию , благоприятствует и событию , и, наоборот, то

, (1)

где число событий, благоприятствующих событию ,

число событий, благоприятствующих событию .

Разделив равенство (1) на , находим

,

что, согласно классическому определению вероятности, означает

.

Теорема. Если событие влечет за собой событие , то вероятность события не превосходит вероятности события

.