Интервальная оценка показателей надежности

В лабораторной работе №3 были получены оценки числовых характеристик выборочной совокупности наблюдений – среднее значение ресурса и его среднеквадратическое отклонение . Можно ли утверждать, что , где – это математическое ожидание ресурса, являющееся его истинным средним значением? Нет, т.к. оценка среднего значения определена по выборке из генеральной совокупности. Поскольку выборка случайна, то и оценка среднего значения в известной мере также носит случайный характер (рисунок 3). Следовательно, при использовании величины вместо мы будем совершать некоторую ошибку. Необходимо определить величину этой ошибки при заданной степени уверенности в том, что она не выйдет за известные пределы. При решении этой задачи используют доверительный интервал, характеризующий точность оценки, и доверительную вероятность, соответствующую, как правило, заданной достоверности.

Таким образом, формулировка задачи интервального оценивания показателей надежности следующая: требуется оценить, в интервал какой длины с заданной доверительной вероятностью попадет неизвестное значение , если известна его оценка . Границы интервала обозначаются: – нижняя граница; – верхняя граница. Значения и определяются по вероятности .

Рис.3. Генеральная и выборочная совокупности наблюдений

Решение задачи:

Из теории вероятностей известно, что вероятность попадания любой СВ с плотностью распределения в заданный интервал (в данном случае ; ) вычисляется по формуле:

(4.5)

Зависимость (4.5) позволяет решать и обратную задачу: задаваясь доверительной вероятностью (при исследовании надежности с.-х. техники ) по известному закону распределения найти границы, а следовательно, и длину интервала, т.е. определить точность оценки при заданной доверительной вероятности . Очевидно, чем меньше этот интервал при одном и том же значении , тем оценка точнее. Заметим, что зависимость (4.5) содержит две неизвестных величины – нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала. В этой связи преобразуем ее к виду

(4.6)

Отсюда ,

. (4.7)

Геометрическая интерпретация зависимостей (4.7) представлена на рис.4.

Рис. 4. Геометрическая интерпретация границ доверительного интервала

Из зависимостей (4.6), (4.7) и рисунка 4 очевидно, что вероятность должна быть большой (это желательный исход), а – маленькой (нежелательный исход). Обычно задаются симметричными их значениями:

.

Таким образом, зная закон распределения СВ и задавшись значением , решают уравнения (4.7) относительно и и определяют границы и длину доверительного интервала:

.

Другими словами, определяют точность оценки показателей надежности с требуемой (заданной) доверительной вероятностью. Конкретный вид зависимостей (4.7) определяется видом ТЗР случайной величины.

Нормальный закон распределения. В условиях решаемой задачи случайной величиной является оценка среднего значения ресурса с плотностью распределения

,

где – среднеквадратическое отклонение оценки среднего значения ресурса ; – среднеквадратическое отклонение ресурса , вычисленное по генеральной совокупности, истинное значение среднего ресурса – МОЖ ресурса.

Так как в данной задаче неизвестно, а вместо него используется оценка , вычисленная в лр №3, то доверительные границы определяют по формуле

, (4.8)

где – коэффициент Стьюдента (приложение 4), увеличивающий на некоторую величину длину доверительного интервала (; )с учетом приближенной оценки .

Результат, полученный по зависимости (4.8), трактуется следующим образом: с вероятностью можно утверждать, что истинное неизвестное нам значение среднего ресурса находится в пределах