Основные свойства определенного интеграла

Задача о вычислении работы переменной силы

Задача о нахождении площади криволинейной трапеции

Метод интегрирования по частям

Пусть u(x) и υ(x)- непрерывно дифференцируемые функции на некотором промежутке. Тогда дифференциал их произведения равен

d(u υ)=udυ+υdu, (16)

Проинтегрируем (16) по x. Имеем

uυ = υ+υdu

откуда

υ=uυ- υdu, (17)

Равенство (17) называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет нахождение одного интеграла свести к нахождению более простого интеграла.

Пример 7. Найти . Положим u=arctgx. Тогда du= , υ= и по формуле интегрирования по частям получим:

Пример 8. Найти ; Положим u=lnx, dυ=xdx.

Тогда du= υ= и по формуле интегрирования по частям будем иметь

.

Рассмотрим задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Пусть дана неотрицательная функция y=f (x), график которой изображен на рис.3.

Рис.3

Выберем на оси OX точки a и b и восставим из них перпендикуляры до пересечения с кривой. Фигура, ограниченная кривой, перпендикулярами и осью OX, называется криволинейной трапецией. Вычислим площадь этой трапеции. Для этого разобьем отрезок на n частичных отрезков точками

.

Внутри каждого отрезка длины выберем произвольную точку k . Составим произведения ,…

Каждое такое произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой, равной значению функции в произвольной точке соответствующего отрезка. Сумма таких произведений

(18)

называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке и равна площади всех прямоугольников.

Если каждый из отрезков достаточно мал, т.е. и т.д., то площадь заштрихованной области (рис.3) стремится к площади криволинейной трапеции, равной

, (19)

Таким образом, задача о вычислении площади криволинейной трапеции сводится к определению предела интегральной суммы (18).

Пусть материальная точка единичной массы перемещается из точки a в точку b оси OX под воздействием переменной силы, направленной вдоль оси OX (т.е., сила является функцией x: у=f(x)). Требуется найти работу A этой силы.

Разобьем отрезок произвольно на n частей точками (рис.4)

.

Рис.4

При достаточно мелком разбиении можно считать, что на каждом отрезке величина силы f(x) почти постоянна и приближенно равна ее значению в некоторой точке k ; f(x) для любых точек Є .

Работа силы на каждом отрезке тогда будет приближенно равна , где , а работа силы по перемещению массы вдоль всего отрезка будет приближенно равна

, (20)

Значение работы A будет тем точнее, чем мельче будет разбиение. Поэтому для получения точного значения работы переменной силы на всем отрезке необходимо перейти к пределу при

(21)

Таким образом, и для вычисления работы переменной силы необходимо уметь определять предел интегральной суммы (18).

Функция f(x) на отрезке называется интегрируемой, если существует такое число I, к которому стремится интегральная сумма (1) при . Тогда число называется определенным интегралом функции на отрезке и обозначается

;

- область интегрирования, называется нижним пределом интегрирования, - верхним пределом интегрирования. Из сказанного следует, что

, (22)

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции и работы переменной силы связано с нахождением определенного интеграла.

1. Определенный интеграл с равными пределами равен нулю:

.

2. При перемене местами пределов интегрирования величина определенного интеграла изменяется на противоположную:

.

3. Если отрезок интегрирования разделен на конечное число n частичных отрезков , то определенный интеграл от функции на отрезке равен сумме определенных интегралов от этой функции на каждом из частичных отрезков (свойство аддитивности):

.

4. ,

где - постоянный множитель.

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций, интегрируемых на отрезке , равен алгебраической сумме определенных интегралов этих функций на данном отрезке:

.

Величина определенного интеграла от функции , непрерывной на отрезке , равна приращению любой из первообразных для этой функции на данном отрезке:

, (23)

Формула (23) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Из этой формулы следует, что для вычисления определенного интеграла достаточно найти какую-либо из первообразных для подынтегральной функции и из ее значения, соответствующего верхнему пределу интегрирования, вычесть значение, соответствующее нижнему пределу.

Пример 9. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Первообразной для функции (имеющей наиболее простой вид), является . Поэтому в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница имеем .

Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 570; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!