Формула Остроградского – Лиувилля

Матрица Коши (матрициант).

Пусть надо записать решение задачи Коши, удовлетворяющее начальным условиям .

Матрица называется матрицей Коши. .

Теорема. Фундаментальная матрица удовлетворяет однородной системе, .

Доказательство. Столбцы фундаментальной матрицы являются решениями однородной системы. Объединяя запись в матрицу, получим утверждение теоремы.

Выведем формулу Остроградского – Лиувилля.

Фундаментальная матрица системы является решением однородной системы. Запишем уравнение для k –го столбца фундаментальной матрицы – координат решения :

.

Отсюда .

Запишем определитель Вронского и продифференцируем его, подставляя вместо производных координат решений полученное соотношение.

, +...

+ + =

+...+ +

=

(расписывая в сумму определителей, учитывая равенство нулю определителей с одинаковыми строками)

...+ =

.

Получено соотношение , где - след матрицы системы. Отсюда имеем формулу Остроградского – Лиувилля.

.

Заметим, что эту формулу можно получить как следствие из теоремы Лиувилля о фазовом объеме.

Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 1568; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!