Теорема 5.4. Общая точка стягивающейся системы отрезков единственна

Стягивающиеся отрезки

Определение 5.4. Система отрезков называется вложенной, если .

Теорема 5.3 Любая вложенная система отрезков имеет хотя бы одну общую для всех отрезков точку, т.е. : .Иными словами, : или Ø.

Доказательство. Допустим, что есть 2 общие точки . Тогда . Возьмем . Найдется такое , что для любого .

Одновременно получаем, что

, откуда . Но . Тем самым, мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Замечания:

· точка c является точной верхней гранью множества левых отрезков и точной нижней гранью множества правых концов этих отрезков.

· вложенная система интервалов может не иметь общую точку, как показывает

Пример: Рассмотрим У этих интервалов нет общей точки – докажем это от противного. Если бы общая точка была, то она принадлежала бы первому интервалу, т.е. , . Выберем число так, чтобы , т.е. . Тогда вопреки предположению.

Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 1763; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!