Теорема (Необходимый признак представительности функции тригонометрическим рядом)

Разложение функции в ряд Фурье на отрезке произвольной длины

Пусть функция на удовлетворяет условиям Дирихле, тогда она представима на этом промежутке рядом Фурье (3) с коэффициентами (4).

Положив , имеем

.

И формулы (3), (4) принимают вид

, (5)

где

;

, (6)

,

34. Ряд Фурье в комплексной форме

Определение 1. Функциональный ряд вида

(1)

называется тригонометрическим рядом. Числа называются коэффициентами ряда.

Определение 2. Тригонометрический ряд называется рядом Фурье для функции на , если коэффициенты ряда вычисляются по формулам

. (2)

Для того, чтобы функция была представима на тригонометрическим рядом вида , необходимо, чтобы этот ряд являлся рядом Фурье, т.е. чтобы коэффициенты вычислялись по формулам , .

Доказательство

Пусть функция представима на тригонометрическим рядом .

Умножим обе части этого равенства на :

.

Предполагая возможность интегрирования под знаком ряда, проинтегрируем по промежутку :

.

Т.к.

, то

.

35. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье; вещественная форма интеграла Фурье

Дата добавления: 2014-12-26; Просмотров: 399; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!