Понятие о доверительных границах для средних

При использовании результатов выборочного наблюдения нельзя ограничиваться только приближенным равенством для характеристики связи между генеральной и выборочной средней.

Важно еще установить границы ошибки выборки . В связи с этим вводится понятие о доверительных границах для средних.

В качестве критерия здесь принимается так называемая доверительная вероятность Р, отвечающая условию

, или .

Число Р выбирается произвольно, но достаточно близким к 1, и этим характеризуется надежность неравенства .

Применяя для выражения преобразованную форму интегральной теоремы Лапласа, будем иметь

,

где , а (значение t находится по таблице значений Ф(х) из условия Ф(t) =Р, которое задано).

Этим определяется доверительная оценка средней условием

с надежностью Р.

Поэтому, если дана достаточно большая выборка из генеральной совокупности, определяющей случайную величину X, у которой известны математическое ожидание а и дисперсия , то с вероятностью Р можно принять, что выборочная средняя удовлетворяет неравенству

Отсюда следует, что средняя находится в доверительном интервале .

Таким образом, для вычисления доверительных границ для выборочной средней с надежностью Р= Ф(t) следует найти t=t (Р), а затем вычислить .

По найденному значению D и определяются доверительные границы для вычисленной выборочной средней в виде

.

На практике требуется вычисление доверительных границ не для выборочной средней (поскольку генеральная средняя случайной величины М (Х) =а неизвестна), а для генеральной средней. Поэтому построение соответствующей задачи должно быть таким: по данным выборочного наблюдения отыскиваются выборочная средняя , или средняя доля признака, и выборочная дисперсия ;

по заданному значению Р =Ф(t) отыскивается t=t (Р);

определяется средняя квадратическая ошибка выборки m;

определяется предельная ошибка выборки ;

по этому значению D устанавливаются доверительные границы для генеральной средней

.

Дата добавления: 2014-12-26; Просмотров: 552; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!