Методом. Классический метод анализа переходных процессов

Классический метод анализа переходных процессов

КУРСОВОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

Параметры нагрузки и однородной двухпроводной линии

Параметры кабеля

Номер варианта			ℓ, м
	2,6∙10-4	46,5∙10-9	1,0
	4,5∙10-4	50,0∙10-9	1,5
	5,0∙10-4	62,3∙10-9	2,0
	3,0∙10-4	80,0∙10-9	2,5
	4,0∙10-4	75,4∙10-9	1,0
	3,5∙10-4	53,6∙10-9	3,0
	3,0∙10-4	60,0∙10-9	2,0
	6,0∙10-4	28,7∙10-9	1,5
	4,0∙10-4	25,0∙10-9	2,5
	2,5∙10-4	40,0∙10-9	3,5

Таблица 4.8

Номер варианта

Классический метод анализа переходных процессов в электрической цепи основан на использовании неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, выражающих законы Кирхгофа [3]:

(5.1)

Решение уравнения (5.1) представляет собой сумму общего решения однородного уравнения:

(5.2)

и частного решения неоднородного уравнения (5.1). Общее решение уравнения (5.2) описывает свободную составляющую переходного процесса , частное решение уравнения (5.1) – принужденную составляющую Таким образом, переходной процесс складывается из свободной и принужденной составляющих:

Свободная составляющая переходного процесса определяется только свойствами цепи и не зависит от вида входного воздействия. Для ее нахождения записывают и решают характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (5.2):

(5.3)

Если – корни характеристического уравнения (5.3), причем, среди них нет равных, то решение уравнения (5.2) запишется в виде:

(5.4)

где А₁,…,А_n – постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями.

Из выражения (5.4) видно, что свободная составляющая состоит из n линейно независимых слагаемых.

Если k корней характеристического уравнения равны между собой:

то решение однородного уравнения запишется в виде:

(5.5)

Решение (5.5) справедливо и в случае k=n.

Если одна или несколько пар корней уравнения (5.3) является комплексно сопряженными и не равны друг другу:

то решение будет содержать слагаемые вида:

где – собственные частоты и собственные затухания составляющих, определяемые параметрами цепи.

Общее решение x_св(t) будет иметь в этом случае следующий вид:

(5.6)

Величины А_k, A_k+2 и , находятся, исходя из начальных условий.

Если какая-либо пара комплексно сопряженных корней имеет кратность k (k пар комплексно сопряженных корней равны между собой), то соответствующие k пар членов в формуле (5.4) заменяются слагаемыми

,

где постоянные интегрирования с₁, с₂,…,с_k и b₁, b₂,…,b_k определяются из начальных условий.

Принужденная составляющая определяется как отклик цепи на входное воздействие при , когда свободная составляющая практически затухает. Вид принужденной составляющей определяется входным воздействием В том частном случае, когда есть величина постоянная, равная , частное решение находится из равенства:

(5.7)

Для определения частного решения уравнения (5.1) при других видах входного воздействия необходимо воспользоваться известными методами решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [6].

Постоянные интегрирования определяются после нахождения частного решения уравнения (5.1) и общего решения уравнения (5.2) по известным начальным условиям. В качестве независимых начальных условий используются величины токов индуктивностей и напряжений на емкостях в момент времени t=0, т.е. В качестве зависимых начальных условий используются значения производных токов и напряжений в момент времени t=0.

5.1.1 Примеры расчёта переходных процессов классическим

Пример первый.

Электрическая цепь, показанная на рисунке 4.1, включается на постоянное напряжение.

Для переходного процесса, возникающего в заданной электрической цепи при замыкании рубильника S, определить ток в неразветвлённой части цепи и переходное напряжение u_C (t) на зажимах конденсатора при нулевых начальных условиях. Параметры цепи: U₀=400 В, R=50 Ом, L=1000 мГн, С=50 мкФ.

Расчёт

На основании первого и второго законов Кирхгофа запишем систему уравнений для режима цепи при подключении источника постоянного напряжения величиной U₀.

(5.8)

(5.9)

(5.10)

Дифференцируя уравнение (5.9), находим:

(5.11)

Учитывая уравнение (5.10), получим:

(5.12)

Подставляя найденное значение i₂ в уравнение (5.8), получим следующее уравнение для определения тока i₁ (t):

(5.13)

Для рассматриваемого переходного процесса дифференциальное уравнение свободного режима имеет вид:

(5.14)

Характеристическое уравнение свободного режима электрической цепи запишется в виде:

(5.15)

Найдём корни уравнения (5.15) по формуле:

(5.16)

Подставив численные значения R, L, C, получим:

Корни уравнения (5.16) действительны и различны, поэтому свободная составляющая тока i_1св (t) будет равна:

(5.17)

Принуждённую составляющую i_1пр (t) определим, воспользовавшись выражением:

(5.18)

Откуда:

8 (А)

Суммируя полученные решения, получим следующее выражение для тока i₁:

(5.19)

Для определения постоянных А₁ и А₂ необходимо знать i₁(0) и . Найдём эти величины, воспользовавшись независимыми начальными условиями:

и уравнениями (5.8), (5.9):

(5.20)

(5.21)

В уравнении (5.9) величина заменена на u_С. Подставляя численные значения, находим:

Значение найдём из выражения (5.11):

(5.22)

Подставляя численные значения, имеем:

Для определения постоянных интегрирования А₁, А₂ найдём и :

(5.23)

(5.24)

Учитывая начальные условия, получим систему уравнений для определения А₁, А₂:

(5.25)

Решая систему, находим А₁=-11,314 и А₂=11,314. Окончательно выражение для тока i₁ (t) запишется в виде:

(5.26)

Графики изменения токов i₁ (t), i_1пр (t), i_1св (t) представлены нарисунке 5.1.

Рис. 5.1. График изменения токов i₁ (t), i_1пр (t), i_1св (t)в цепи

Для определения зависимости u_C (t) воспользуемся выражением (5.9):

(5.27)

Подставляя значения U₀, R, i₁, получим:

(5.28)

График изменения напряжения на ёмкости представлен на рисунке 5.2.

Рис. 5.2. График изменения напряжения на ёмкости и_с (t)

Пример второй ( случай равных корней).

Параметры схемы цепи: R=100 Ом; L=40 мГн; С=1мкФ; U₀=125 В.

Расчёт

Определим значения корней характеристического уравнения (5.15) свободного режима электрической цепи для заданных параметров её элементов:

Корни уравнения действительны и равны, следовательно, свободная составляющая тока будет иметь вид:

(5.29)

Принужденную составляющую найдем, воспользовавшись выражением (5.7):

С учетом полученного значения и выражения (5.29) получим:

(5.30)

Начальные условия найдем, воспользовавшись выражениями (5.22), (5.24):

(5.31)

(5.32)

Найдем значения и из выражения (5.30):

(5.33)

Подставляя вместо и их значения из (5.31) и (5.32), получим следующую систему уравнений для нахождения В₁ и В₂:

Решая систему уравнений, найдем В₁=0, В₂= –12500 А Окончательно выражение для тока запишется в виде:

Графики изменения токов , и представлены на рисунке 5.3.

Рис. 5.3. Графики зависимостей , и

Выражение для найдем из (5.9):

Подставляя величины и i ₁ получим:

График изменения напряжения на емкости представлен на рисунке 5.4.

Рис. 5.4. График изменения напряжения на емкости

Пример третий (случай комплексно-сопряжённых корней).

U₀=250 B,

R=125 Ом,

L=25 мГн,

C=1 мкФ.

Расчёт

Подставив численные значения R, C, L в выражение (5.16), получим:

= .

Корни характеристического уравнения являются комплексно сопряженными числами, следовательно, свободная составляющая тока i_{1 св} определится выражением:

. (5.34)

Принужденная составляющая i_1ПР будет равна:

.

Выражение для тока i₁ запишется в виде:

. (5.35)

Начальные условия будут равны:

;

.

Для определения постоянных интегрирования A и y найдем и из выражения (5.35):

Подставляя численные значения и в полученные выражения, получим систему уравнений:

Решая её, находим А = –3,26 А, y = 0.

Окончательное выражение для тока имеет вид:

(5.36)

Графики изменения токов i₁ (t), i_1пр (t), i_1св (t) представлены нарисунке 5.5, численные данные для построения графиков – в таблицах 5.1-5.3.

Таблица 5.1

Численные значения функции

10–3 t,с		0,08	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
,А		1,096	0,972	0,784	1,023	1,391	1,718	1,941	2,056	2,093	2,085
10–3 t,с		1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9
,А	2,059	2,031	2,011	1,998	1,993	1,993	1,995	1,997	1,999

Таблица 5.2

Численные значения функции

10–3 ·t,с		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
,А		-1,028	-1,216	-0,977	-0,609	-0,282	-0,059	0,056	0,093	0,085	0,059
10–3 ·t,с	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9
,А	0,031	0,011	-0,002	-0,007	-0,007	-0,005	-0,003	-0,001	-1,9×10-4	4×10-4

Таблица 5.3

Численные значения функции

10 –3 ·t, с		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
, В		128,53	152,045	122,1	76,132	35,19	7,424	-7,031	-11,65	-10,62	-7,334
10 –3 ·t, с	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9
, В	-3.901	-1,319	0,192	0,82	0,884	0,677	0,404	0,173	0,024	-0,05

Рис. 5.5. Графики изменения токов i₁ (t), i_1пр (t), i_1св (t)в цепи

Для определения зависимости u_c(t) воспользуемся выражением (5.9):

(5.37)

Подставляя значения U₀, R и i₁, получим:

График изменения напряжения на емкости представлен на рисунке 5.6.

Рис. 5.6. График зависимости u_C(t)

Принужденная составляющая напряжения на ёмкости равна нулю.

Дата добавления: 2014-12-26; Просмотров: 513; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!