Методические рекомендации. Вопросы, выносимые на обсуждение

9. В рабочей тетради и на доске решите практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий, решаемых в аудитории.

10. Разберите с преподавателем вопросы, которые остались Вами не понятыми по теме этого занятия.

Дома

1. Закрепите полученные практические умения и навыки, решая практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий для самостоятельной работы дома.

2. Найдите примеры задач из области естествознания, которые приводят к решению дифференциальных уравнений.

3. Подготовьтесь к компьютерному тестированию по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка».

Рекомендуемая литература

[1] глава 13 пп 13.1 - 13.2.

[2] часть 2, глава IV § 1.

[3] глава 10 §§ 60 – 61.

[4] часть III занятие 17.

[5] глава 6 §§ 6.1-6.2.

[6] глава 15 § 1.

[7] глава XV §1.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

1. По общему решению дифференциального уравнения определите порядок исходного уравнения и найти частное отвечающее условиям .

Решение. Так как в общем решении дифференциального уравнения две постоянных, то это решение дифференциального уравнения 2-го порядка. Продифференцируем заданное решение: . Подставляя начальные условия , , в результате получаем систему для определения постоянных, входящих в общее решение: . Решая систему, находим , .

Таким образом, - искомое частное решение.

2. Найдите общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Перепишем его в виде , . Далее учитывая, что , получаем , или . Интегрируем последнее уравнение . Вычислим интеграл, стоящий в левой части уравнения:

При нахождении интеграла воспользовались разбиением подынтегральной дроби на элементарные дроби:

.

Тогда решение данного дифференциального уравнения принимает вид , или .

3. Найдите частное решение дифференциального уравнения отвечающее начальному условию при .

Решение. Разделяя переменные, интегрируем уравнение:

.

Воспользуемся начальными условиями для нахождения константы:

, .

Тогда - частное решение данного уравнения.

4. Определите вид и найдите общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Данное уравнение является однородным, так как функции и являются однородными функциями одного измерения 2. Действительно, и .

Для решения уравнения выполним подстановку , тогда . Следовательно, , , . Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим . Далее, , , . Учитывая, что , получаем , , . Окончательно имеем - общее решение данного дифференциального уравнения.

5. Покажите, что уравнение можно свести к однородному дифференциальному уравнению первого порядка.

Решение. Так как определитель , то с помощью подстановки , где решение системы , уравнение можно свести к однородному. Решая систему, находим , тогда имеем подстановку , откуда . Переходя к новым переменным в уравнении , получим , . Переписав последнее уравнение в виде , несложно убедиться, что оно однородное. Сделав замену , можно привести это однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными (проделайте эту замену самостоятельно и дорешайте уравнение).

6. Решите уравнение .

Решение. Так как определитель , то выполним замену . Тогда , следовательно . Далее , , . Интегрируем последнее уравнение и получаем . Учитывая, что , находим - общее решение данного уравнения.

Теоретические задания