Методические рекомендации. Вопросы, выносимые на обсуждение

2. В рабочей тетради и на доске решите практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий, решаемых в аудитории.

Дома

1. Закрепите полученные практические умения и навыки, решая практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий для самостоятельной работы дома.

2. Выполните ИДЗ № 8 по теме «Плоскость и прямая в пространстве» в соответствии с номером Вашего варианта и сдайте на проверку преподавателю.

3. Подготовьтесь к самостоятельной работе №11 по теме «Плоскость и прямая в пространстве. Поверхности второго порядка». Примерный вариант работы можете найти в программе дисциплины.

Рекомендуемая литература

[1] глава 4.

[2] глава III § 1.

[3] глава 2 § 7.

[4] часть I занятия 17- 19.

[6] глава 9 §§ 11 – 13.

[7] глава IX §§ 11 - 13.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

1. Даны точки и . Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Воспользуемся уравнением , где - вектор нормали к плоскости, - точка, принадлежащая плоскости. Находим координаты вектора нормали к искомой плоскости: . Подставляем в записанное уравнение:

.

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и получаем общее уравнение плоскости:

.

2. Напишите уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через точки и .

Решение. Так как плоскость параллельна оси , то общее уравнение плоскости принимает вид .

Далее, плоскость проходит через точку , следовательно её координаты удовлетворяют искомому уравнению. Получаем уравнение

.

Аналогично, плоскость проходит через точку , следовательно

.

Решаем систему . Умножаем первое уравнение на и прибавляем ко второму, в результате система свелась к ступенчатому виду: .

Пусть , тогда , . Следовательно, получили искомое уравнение плоскости:

или .

3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки и и перпендикулярной плоскости .

Решение. Воспользуемся общим уравнением плоскости:

.

Так как плоскости и перпендикулярны, то перпендикулярны их векторы нормали, следовательно, скалярное произведение векторов нормали равно нулю:

.

Ещё два уравнения получаем, учитывая, что плоскость проходит через точки и :

,

.

Объединяем полученные уравнения в систему:

.

Придавая одной из переменных произвольное значение, например, пусть , находим остальные неизвестные (проверьте самостоятельно). Таким образом, получили уравнение искомой плоскости:

.

4. Приведите к каноническому виду уравнение следующей прямой

Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид

,

где - точка на прямой, - направляющий вектор прямой. Данная плоскость задана как линия пересечения двух плоскостей, следовательно искомый вектор должен быть перпендикулярен векторам нормали этих плоскостей и , следовательно в качестве можно взять векторное произведение и . Таким образом,

.

Координаты точки , принадлежащей прямой, найдем как какое-нибудь частное решение системы линейных уравнений

Пусть , тогда , . Следовательно, - точка на данной прямой. Подставляем найденный вектор и точку в канонические уравнения прямой, получаем искомые уравнения

.

5. Докажите перпендикулярность прямых и

Решение. Для доказательства перпендикулярности прямых достаточно доказать ортогональность их направляющих векторов. Первая прямая задана параметрическими уравнениями, её направляющий вектор . Направляющий вектор второй прямой, заданной как линии пересечения двух плоскостей, найдем как в предыдущей задаче:

.

Для доказательства перпендикулярности находим скалярное произведение векторов

.

Следовательно, заданные прямые перпендикулярны.

Теоретические задания