Робота сили ваги 5 страница

Модуль і напрям імпульсу сили визначаєтьсязаформулами:

;

; ; . (25.11)

25.3. Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки.

Кількістю руху або векторною мірою механічного руху матеріальної точки називається вектор , який дорівнює добутку маси точки на вектор її швидкості і має напрям вектора швидкості

. (25.12)

Запишемо основне рівняння руху матеріальної точки і перетворимо його ліву частину

.

Отже,

. (25.13)

В правій частині цього рівняння силу можна розглядати як окрему силу, або як рівнодійну кількох сил, що діють на матеріальну точку (рис. 23.2).

Рівняння (25.13) визначає теорему про зміну кількості руху матеріальної точки в диференціальній формі:

Векторна похідна за часом від кількості руху матеріальної точки дорінює вектору сили, яка діє на матеріальну точку.

Розділимо змінні в рівнянні (25.13) і зінтегруємо обидві його частини, після цього отримаємо:

або

. (25.14)

Рівняння (25.14) визначає теорему про зміну кількості руху матеріальної точки в інтегральній (скінченій) формі:

Зміна кількості руху матеріальної точки за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу сили, що діє на точку, за той самий проміжок часу.

Проектуємо обидві частини рівняння (23.14) на координатні осі:

; ; . (25.15)

Отже, зміна проекції кількості руху матеріальної точки за деякий проміжок часу дорівнює проекції імпульсу сили, що діє на точку, за той самий проміжок часу і на ту саму вісь.

25.4 Теорема про зміну головного вектора кількості руху механічної системи

Головним вектором кількості руху механічної системи називається векторна величина, що дорівнює геометричній сумі кількості рухів матеріальних точок, які складають механічну систему:

.

Отже, головний вектор кількості руху механічної системи дорівнює добутку маси системи на вектор швидкості її центра мас і має напрям цього вектора:

. (25.16)

Розглянемо механічну систему, яка складається з n матеріальних точок. Нехай на точки цїєї системи діють зовнішні () та внутрішні () сили.

Тоді теорема про зміну кількості руху для j- ої точки цієї системи в диференціальній формі матиме вигляд:

. (25.17)

Запишемо таких рівнянь стільки, скільки точок має дана система та підсумуємо їх:

. (25.18)

Перетворимо ліву частину рівняння (23.18):

. (25.19)

Підставивши отримане значення (23.18) в (23.19) та враховуючи, що , остаточно маємо:

. (25.20)

Рівняння (25.20) визначає теорему про зміну головного вектора кількості руху механічноїсистеми в диференціальній формі.

Векторна похідна за часом від головного вектора кількості руху механічної системи дорівнює геометричній сумі всіх зовнішніх сил, прикладених до точок системи, або головному вектору всіх зовнішніх сил, які діють на точки механічної системи.

Проектуємо обидві частини рівняння (23.20) на осі декартової системи координат:

; ; . (25.21)

Отже, перша похідна за часом від проекції головного вектора кількості руху механічноїсистеми на будь-яку вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій зовнішніх сил, які діють на точки механічної системи, або проекції головного вектора зовнішніх сил на ту саму вісь.

Для отримання теореми про зміну кількості руху механічної системи в інтегральній (скінченій) формі використаємо рівняння (25.21).

Домножимо обидві його частини на і зінтегруємо в межах від до :

.

Після інтегрування остаточно дістанемо:

. (25.22)

Рівняння (25.22) визначає теорему про зміну головного вектора кількості руху механічної системи:

Зміна головного вектора кількості руху механічної системи за деякий проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів зовнішніх сил, які діють на точки механічної системи за той самий проміжок часу, або повному імпульсу головного вектора зовнішніх сил.

Спроектувавши обидві частини рівняння (25.22) на координатні осі дістанемо:

; ; . (25.23)

Отже, зміна проекції головного вектора кількості руху механічної системи на будь яку вісь за деякий проміжок часу дорівнює алгебраїчній сумі проекцій імпульсів зовнішніх сил, що діють на точки механічної системи за той самий проміжок часу і на ту саму вісь, або проекції повного імпульсу головного вектора зовнішніх сил на цю вісь.

Наслідки з теореми:

1. Внутрішні сили безпосередньо не впливають на зміну головного вектора кількості руху механічної системи.

2. Якщо головний вектор усіх зовнішніх сил, які діють на точки механічної системи, дорівнює нулю, то головний вектор кількості руху цієї системи є векторною сталою величиною ; .

3. Якщо проекція головного вектора зовнішніх сил, що діють на точки механічної системи, на будь-яку вісь дорівнює нулю, то проекція головного вектора кількості руху механічної системи на ту саму вісь є сталою величиною(; .

Другий і третій наслідки називаються законами збереження кількості руху механічної системи.

25.5. Приклади розв’язання задач

Приклад 1. Людина вагою стоїть на кормі човна вагою і довжиною , що перебуває в стані спокою (рис. 23.3). Визначити відстань , на яку переміститься човен, якщо людина перейде на ніс човна. Опором води знехтувати.

Розв’язання. На човен діють зовнішні сили, до яких належать сили ваги човна і людини , а також архімедова сила , лінія дії якої проходить через центр мас механічної системи, що складається з човна та людини.

Оскільки зовнішні сили вертикальні, то проекція головного вектора зовнішніх сил на вісь дорівнює нулю. Отже, виконується закон збереження кількості руху центра мас, тобто швидкість руху центра мас є стала величина .

Оскільки система на початку руху перебувала в стані спокою , ), то координата центра мас протягом руху залишається незмінною , тобто

виконується умова .

Це можливо лише в тому випадку, якщо при русі людини праворуч, човен переміщується ліворуч.

Визначимо координату і центра мас системи в початковий і кінцевий моменти часу:

; .

Виразимо координати і через і :

; .

Тоді отримаємо:

.

Оскільки , то і тому:

.

Звідки, після нескладних перетворень дістанемо:

.

Остаточно

.

Приклад 2. Швидкість корабля тоннажністю за час після зупинення роботи турбіни зменшилась на 3,6 км/год, тобто на 1м/с (рис. 25.4). Визначити середню силу опору води, вважаючи рух корабля прямолінійним.

Скористаємось теоремою про зміну кількості руху матеріальної точки в проекції на вісь :

,

звідки

,

де ; тоді

Приклад 3. На нерухомій горизонтальній платформі вагою знаходиться людина вагою (рис. 25.5). В деякий момент часу людина почала рухатись вздовж платформи з відносною швидкістю . Нехтуючи тертям між рейками і колесами, а також опором повітря, визначити закон зміни швидкості руху платформи.

Розв’язання. Механічна система складається з платформи та людини. На систему діють активні зовнішні сили – сили ваги платформи та людини , а також реакції рейок і .

Сумістимо вісь з горизонтальною рейкою та застосуємо до розв’язування задачі теорему про зміну кількості руху механічної системи в проекції на цю вісь (в диференціальній формі).

, тоді .

Отже, виконується закон збереження проекції кількості руху механічної системи. В початковий момент часу швидкість руху платформи. і швидкість руху людини по платформі , тоді .

В момент , коли людина почала рухатись вздовж платформи з відносною швидкістю , абсолютна швидкість платформи дорівнює , а абсолютна швидкість людини , тоді проекція на вісь кількості руху механічної системи платформа – людина буде дорівнювати

,

оскільки .

Звідси

;

або .

Знак «мінус» показує на те, що платформа рухається в бік протилежний руху людини.

Лекція 26

МОМЕНТ КІЛЬКОСТІ РУХУ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ

26.1. Момент кількості руху матеріальної точки відносно центра і осі

Момент кількості руху матеріальної точкивідносно центравизначається так само, як і момент сили .

. (26.1)

За модулем: .

Отже, моментом кількості руху матеріальної точки відносно деякого центра називається вектор який дорівнює за модулем добутку модуля кількості руху точки на плече d і має напрям перпендикулярний до площини, яка проходить через вектор і центр О в той бік, звідки вектор відносно центра О видно спрямованим проти руху годинникової стрілки (рис. 26.1).

Величина момента кількості руху матеріальної точки відносно деякої осі, наприклад , записуються аналогічно відповідному виразу для момента сили (рис. 26.2):

; (26.2)

Аналогічно запишемо таку залежність:

. (26.3)

Отже, проекція вектор-моменту кількості руху матеріальної точки відносно деякого центра на вісь, яка проходить через цей центр, дорівнює моменту кількості руху точки відносно цієї осі.

Проектуючи вектор момент кількості руху точки відносно центра (26.1) на осі прямокутної декартової системи координат, отримаємо вирази для обчислення моментів кількості руху матеріальної точки відносно координатних осей:

; ; . (26.4)

26.2. Теорема про зміну моменту кількості руху матеріальної точки:

Векторна похідна за часом від моменту кількості руху матеріальної точки відносно деякого центра дорівнює вектору-моменту сили, прикладеної до цієї точки, відносно того самого центра.

Доведення. Нехай матеріальна точка масою рухаєтьс я зішвидкістю під дією сили (рис. 26.3).

Момент кількості руху даної матеріальної точки відносно нерухомого центра визначається за формулою (26.1):

.

Знайдемо першу похідну за часом від останнього виразу

. (26.5)

Тут , як векторний добуток двох колінеарних векторів.

Остаточно маємо:

. (26.6)

Рівність (26.6) визначає доведену теорему про зміну моменту кількості руху матеріальної точки відносно нерухомого центра.

Проектуючи обидві частини рівняння (26.6) на координатні осі, дістаємо:

, , . (26.7)

Отже, перша похідна за часом від моменту кількості руху матеріальної точки відносно деякої осі дорівнює моменту сили, прикладеної до точки, відносно тієї самої осі.

Наслідки з теореми:

1. Якщо момент сили, прикладеної до точки, відносно деякого центра за весь час руху дорівнює нулю, то вектор-момент кількості руху матеріальної точки відносно того самого центра є векторною сталою величиною:

; ; . (26.8)

2. Якщо момент сили, прикладеної до точки, відносно деякої осі, наприклад за весь час руху дорівнює нулю, то момент кількості руху матеріальної точки відносно тієї самої осі є сталою величиною:

; ; . (26.9)

 

26.3. Рух матеріальної точки під дією центральної сили. Закон площин

 

Сила, лінія дії якої весь час проходить через деякий нерухомий центр, називається центральною силою. Прикладом такої сили є сила притягання планет Сонячної системи до Сонця.

Розглянемо рух матеріальної точки під дією сили , лінія дії якої під час руху проходить через точку (рис. 26.4.).

Вектор момент сили відносно точки весь час дорівнює нулю і рівняння (26.6) матиме вигляд:

,

звідки

.

Оскільки маса точки розглядається як стала величина, то вектор-момент вектора швидкості відносно центра залишається незмінним, тобто

. (26.10)

Цей вектор весь час спрямований перпендикулярно до площини, яка утворюється за допомогою векторів і .

Оскільки вектор зберігає незмінним не тільки модуль, а і напрям, то радіус-вектор точки і вектор її швидкості повинні весь час знаходитись в одній площині. З цього випливає, що траєкторією руху точки є плоска крива, а радіус вектор і швидкість точки змінюються відповідно таким чином, що момент швидкості відносно центра залишається під час руху незмінним.