Поле комплексных чисел

Комплексные числа возникают в связи с задачей решения алгебраических уравнений.

Определение. Комплексным числом называется выражение вида , где и - действительные числа, . Число называется действительной частью комплексного числа и обозначается , а число называется мнимой частью комплексного числа и обозначается , т.е. . называется мнимой единицей.

Множество комплексных чисел обозначается символом С.

Каждое действительное число можно представить в виде В частности, . Таким образом, множество комплексных чисел, т.е. . Комплексные числа вида называются (чисто) мнимыми числами.

Определение. Числа и называются сопряженными.

Определение. Два комплексных числа и называются равными, если и .

Основными операциями над комплексными числами являются сложение и умножение.

Определение. Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число

Сложение обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативность),

2. ,

3. ( и

),

4. (коммутативность).

Таким образом, - абелева группа.

Разность определяется следующим образом:

Определение. Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число

Умножение обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативность),

2. ,

3. ( и ),

4. (коммутативность).

Таким образом, - абелева группа.

Частное определяется следующим образом: .

Сложение и умножение связаны законом дистрибутивности:

.

Таким образом, - поле.

Дата добавления: 2014-12-24; Просмотров: 581; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!