Часть 3. Нейронные сети 1 страница

Введение. Основные понятия в теории нейронных сетей. элементы нечеткой логики.

Пожалуй, наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных к рассуждениям человека и использование их в компьютерных системах будущих поколений представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.

При обработке знаний с применением жестких механизмов формальной логики возникает противоречие между нечеткими знаниями и четкими методами логического вывода. Преодолеть это противоречие можно или путем преодоления нечеткости (когда это возможно) или с использованием методов представления и обработки нечетких знаний.

Значительное продвижение в этом направлении сделано 30 лет тому назад профессором Калифорнийского университета (Беркли) Лотфи А. Заде (Lotfi A. Zadeh). Его работа «Fuzzy Sets», появившаяся в 1965 г. в журнале Information and Control, № 8, заложила основы моделирования интеллектуальной деятельности человека и явилась начальным толчком к развитию новой математической теории.

Л. Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [0; 1], а не только значения 0 либо 1. Такие множества были названы им нечеткими (fuzzy). Он определил также ряд операций над нечеткими множествами и предложил обобщение известных методов логического вывода modus ponens и modus tollens.

Введя затем понятие лингвистической переменной и допустив, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, Л. Заде создал аппарат для описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

Дальнейшие работы профессора Л. Заде и его последователей заложили прочный фундамент новой теории и создали предпосылки для внедрения методов нечеткого управления в инженерную практику.

Уже к 1990 г. по этой проблематике опубликовано свыше 10000 работ, а число исследователей достигло 10000, причем в США, Европе и СССР по 200-300 человек, около 1000 – в Японии, 2000 3000 – в Индии и около 5000 исследователей в Китае.

В последние 5-7 лет началось использование новых методов и моделей в промышленности и в военном деле. Спектр приложений их широк: от управления процессом отправления и остановки поезда метрополитена, управления грузовыми лифтами и доменной печью до стиральных машин, пылесосов и СВЧ-печей. При этом нечеткие системы позволяют повысить качество продукции при уменьшении ресурсо- и энергозатрат и обеспечивают более высокую устойчивость к воздействию мешающих факторов по сравнению с традиционными системами автоматического управления.

Другими словами, новые подходы позволяют расширить сферу приложения систем автоматизации за пределы применимости классической теории. В этом плане любопытна точка зрения Л. Заде: «Я считаю, что излишнее стремление к точности стало оказывать действие, сводящее на нет теорию управления и теорию систем, так как оно приводит к тому, что исследования в этой области сосредоточиваются на тех и только тех проблемах, которые поддаются точному решению. В результате многие классы важных проблем, в которых данные, цели и ограничения являются слишком сложными или плохо определенными для того, чтобы допустить точный математический анализ, оставались и остаются в стороне по той причине, что они не поддаются математической трактовке. Для того чтобы сказать что-либо существенное для проблем подобного рода, мы должны отказаться от наших требований точности и допустить результаты, которые являются несколько размытыми или неопределенными».

Смещение центра исследований нечетких систем в сторону практических приложений привело к постановке целого ряда проблем, таких как новые архитектуры компьютеров для нечетких вычислений, элементная база нечетких компьютеров и контроллеров, инструментальные средства разработки, инженерные методы расчета и разработки нечетких систем управления и многое другое.

Математическая теория нечетких множеств позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы.

Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности.

1.1. Нечеткие множества

Пусть Е – универсальное множество, х – элемент Е, a R – некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество А универсального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар

,

где – характеристическая функция, принимающая значение 1, если х удовлетворяет свойству R, и 0 – в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. В связи с этим нечеткое подмножество А универсального множества Е определяется как множество упорядоченных пар

,

где – характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М =[0,1]).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М называют множеством принадлежностей. Если М = {0, 1}, то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть E = { x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ }, М = [0,1]; А – нечеткое множество, для которого

μ_А (х ₁) = 0,3; μ_А (х ₂) = 0; μ_А (х ₃) = 1; μ_А (х ₄) = 0,5; μ_А (х ₅) = 0,9.

Тогда А можно представить в виде

А = {0,3/ x₁;0 /x₂;1 /x₃;0,5 /x₄;0,9 /x₅ },

или

А = {0,3/ x₁ +0 /x₂ +1 /x₃ +0,5 /x₄ +0,9 /x₅ },

или

Замечание. Здесь знак «+» не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

1.1.1. Основные характеристики нечетких множеств. Пусть М = [0, 1] и А – нечеткое множество с элементами из универсального множества Е и множеством принадлежностей М.

• Величина называется высотой нечеткого множества А. Нечеткое множество А нормально, если его высота равна 1, т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 (). При нечеткое множество называется субнормальным.

• Нечеткое множество пусто, если . Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

Нечеткое множество унимодально, если μ_А (х) = 1 только на одном х из Е.

Носителем нечеткого множества А является обычное подмножество со свойством μ_А (х) > 0 т.е. носитель

Элементы для которых μ_А (х) = 0,5, называются точками перехода множества А.

Примеры нечетких множеств

Пусть Е = {0, 1, 2,..., 10}, М = [0, 1]. Нечеткое множество «Несколько» можно определить следующим образом:

«Несколько» = 0,5/3 + 0,8/4+1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8;

его характеристики: высота = 1, носитель = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, точки перехода – {3, 8}.

Пусть Е = {0, 1, 2, 3,..., п,...}. Нечеткое множество «Малый» можно определить:

«Малый» = .

Пусть Е = {1, 2, 3,..., 100} и соответствует понятию «Возраст», тогда нечеткое множество «Молодой» может быть определено с помощью

Нечеткое множество «Молодой» на универсальном множестве Е' = {ИВАНОВ, ПЕТРОВ, СИДОРОВ,...} задается с помощью функции принадлежности μ_{Молодой} (х) на Е = {1, 2, 3,..., 100} (возраст), называемой по отношению к Е' функцией совместимости, при этом:

μ_{Молодой} (СИДОРОВ):= μ_{Молодой} (х),

где х – возраст СИДОРОВА.

4. Пусть Е = {ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,...} – множество марок автомобилей, а Е' = [0,∞) – универсальное множество «Стоимость», тогда на Е' мы можем определить нечеткие множества типа: «Для бедных», «Для среднего класса», «Престижные», с функциями принадлежности вида рис. 1.1.

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из Е в данный момент времени, мы тем самым определим на Е' нечеткие множества с этими же названиями.

Так, например, нечеткое множество «Для бедных», заданное на универсальном множестве

Е = {ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,...},

выглядит так, как показано на рис. 1.2.

Аналогично можно определить нечеткое множество «Скоростные», «Средние», «Тихоходные» и т. д.

5. Пусть Е – множество целых чисел:

Е = {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Тогда нечеткое подмножество чисел, по абсолютной величине близких к нулю, можно определить, например, так:

А = {0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 + 1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

1.1.2. О методах построения функций принадлежности нечетких множеств.

В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого значение µ_A (x) либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.

Например, в задаче распознавания лиц можно выделить шкалы, приведенные в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Шкалы в задаче распознавания лиц

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает , формируя векторную функцию принадлежности { µ_A (x₁), µ_A (x₂), …, µ_A (x₉)}.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: «этот человек лысый» или «этот человек не лысый», тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение µ _лысый (данного лица). (В этом примере можно действовать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц.)

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, µ_A (x_i) = w_i, i = 1,2,…, n, то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A = { a_ij } где a_ij = w_i/w_j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу А, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали a_ij = 1 /a_ij, т.е. если один элемент оценивается в α раз сильнее, чем другой, то этот последний должен быть в 1/ α раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению вида Аw = λ_maxw, где λ_max – наибольшее собственное значение матрицы А. Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным.

Можно отметить еще два подхода:

использование типовых форм кривых для задания функций принадлежности (в форме (L-R)-типa – см. ниже) с уточнением их параметров в соответствии с данными эксперимента;

использование относительных частот по данным эксперимента в качестве значений принадлежности.

1.2. Операции над нечеткими множествами

1.2.1. Логические операции

Включение. Пусть А и В – нечеткие множества на универсальном множестве Е. Говорят, что А содержится в В, если .

Обозначение: .

Иногда используют термин доминирование, т.е. в случае, когда , говорят, что В доминирует А.

Равенство. А и В равны, если .

Обозначение: А = В.

Дополнение. Пусть М = [0, 1], А и В – нечеткие множества, заданные на Е. А и В дополняют друг друга, если .

Обозначение: или .

Очевидно, что (дополнение определено для М = [0, 1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного М).

Пересечение. – наибольшее нечеткое подмножество,

содержащееся одновременно в А и В:

.

Объединение. – наименьшее нечеткое подмножество,

включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:

.

Разность. с функцией принадлежности:

.

Дизъюнктивная сумма

с функцией принадлежности:

.

Примеры. Пусть

A = 0,4/ x ₁+0,2/ x ₂+0/ x ₃+1/ x ₄;

B = 0,7/ x ₁+0,9/ x ₂+0,1/ x ₃+1/ x ₄;

C = 0,1/ x ₁+1/ x ₂+0,2/ x ₃+0,9/ x ₄.

Здесь:

1) т. е. А содержится в В или В доминирует А; С несравнимо ни с А, ни с В, т.е. пары { А, С } и { А, С } – пары недоминируемых нечетких множеств.

2) .

3) ;

.

4) .

5) .

6) ;

.

7) .

Наглядное представление логических операций над нечеткими множествами. Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения µ_A (x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы Е (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если Е по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс.

Такое представление делает наглядными простые логические операции над нечеткими множествами (см. рис. 1.3).

На рис. 1.3а заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству А и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в А. На рис. 1.3 б, в, г даны .

Свойства операций

Пусть А, В, С – нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , где – пустое множество, т.е. ;

6) ;

7) , где Е – универсальное множество;

8) ;

9) – теоремы де Моргана.

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:

,

(что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств).

Замечание. Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min. В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок «и», «или», «не».

Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и ко-норм.

Треугольной нормой (t-нормой) называется двуместная действительная функция удовлетворяющая следующим условиям:

1) T (0,0) = 0; T (µ_A,1) = µ_A; T (1, µ_A) = µ_A – ограниченность;

2) T (µ_A, µ_B) ≤ T (µ_C, µ_D), если µ_A ≤ µ_C, µ_C ≤ µ_D – монотонность;

3) T (µ_A, µ_B) = T (µ_B, µ_A) – коммутативность;

4) T (µ_A, T (µ_B, µ_C) = T(T (µ_A, µ_B), µ_C) – ассоциативность.

Примеры треугольных норм

min (µ_A, µ_B)

произведение µ_A · µ_B

max (0, µ_A + µ_B - 1)

Треугольной конормой (t-конормой) называется двуместная действительная функция со свойствами:

1) S (1,1) = 1; S (µ_A,0) = µ_A; S (0, µ_A) = µ_A – ограниченность;

2) S (µ_A, µ_B) ≥ S (µ_C, µ_D), если µ_A ≥ µ_C, µ_C ≥ µ_D – монотонность;

3) S (µ_A, µ_B) = S (µ_B, µ_A) – коммутативность;

4) S (µ_A, S (µ_B, µ_C) = S(S (µ_A, µ_B), µ_C) – ассоциативность.

Примеры t-конорм

max (µ_A, µ_B)

µ_A + µ_B - µ_A · µ_B

min (1, µ_A + µ_B).

1.2.2. Алгебраические операции над нечеткими множествами

Алгебраическое произведение А и В обозначается А·В и определяется так:

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается и определяется так:

Для операций выполняются свойства:

1) ;

2) ;

3) , , , ;

4) – теоремы де Моргана.

Не выполняются:

1) ;

2) ;

3) а также , .

Замечание. При совместном использовании операций выполняются свойства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

На основе операции алгебраического произведения определяется операция возведения в степень α нечеткого множества А, где α – положительное число. Нечеткое множество A^α определяется функцией принадлежности µ_A^α = µ_A^α (x) Частным случаем возведения в степень являются:

1) CON(А) = А ²– операция концентрирования (уплотнения);

2) DIL(А)= А ^0,5– операция растяжения,

которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями (рис. 1.4).

Умножение на число. Если α – положительное число, такое, что , то нечеткое множество αA имеет функцию принадлежности:

.

Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть A ₁, А ₂, …, А_п – нечеткие множества универсального множества Е, а ω ₁, ω ₂, …, ω _n – неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Выпуклой комбинацией A ₁, А ₂, …, А_п называется нечеткое множество А с функцией принадлежности:

µ_A (x ₁, x ₂, …, x_n) = ω ₁ µ_A1 (x) + ω ₂ µ_A2 (x) +…+ ω _n µ_Ai (x).

Дата добавления: 2014-12-29; Просмотров: 495; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!