Непрерывность

ПРЕДЕЛ

Учебное пособие

(под редакцией проф. В. С. Лучкевича
и проф. И. В. Полякова)

Санкт-Петербург

Содержательно понятие предела означает, что переменная величина, зависящая от другой переменной величины, изменяющейся определенным образом, неограниченно близко приближается к определенному постоянному значению. С пределом, или предельным переходом, связаны фундаментальные понятия математического анализа: непрерывность, производная, интеграл и др. Простейшим случаем предела является предел последовательности действительных чисел.

Последовательность действительных чисел {x_n} называется сходящейся к числу А, если для любого e > 0 существует такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется условие < e.

Формальная запись: "e $N "n n>N Þ |x_n - A| < e.

При этом говорят также, что число А является пределом данной последовательности и пишут

или .

Если последовательность не является сходящейся, ее называют расходящейся.

Если последовательность {x_n} бесконечно большая (а следовательно, расходящаяся), то условно пишут ; если при этом, начиная с некоторого номера N, все элементы положительны (отрицательны), то условно пишут .

Для бесконечно малой последовательности, очевидно, .

Для сходящихся последовательностей справедливы следующие утверждения:

1) Если x_n = a, n = 1, 2, … (стационарная последовательность), то .

2) Сходящаяся последовательность ограничена.

3) Если , , то

4) ;

5) ;

6) (при b ¹ 0).

7) Если и х_n £ z_n £ y_n, то .

Пример 1.2.

1)

2) ; ;

3)

4) n

Последовательность {x_n} называется возрастающей (убывающей), если х₁ < х₂ < … < х_n < x_n+1 < …(x₁ > x₂ >…>x_n > x_n+1 >…); неубывающей (невозрастающей), если х₁ £ х₂ £ … £ х_n £ x_n+1 £ …(x₁ ³ x₂ ³…³x_n ³ x_n+1 ³…).

Формальная запись: "i"j i>j Þ x_i>x_j ("i"j i>j Þ x_i<x_j)

Все такие последовательности называются монотонными; возрастающие и убывающие называются при этом строго монотонными.

Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Примером ограниченной монотонно возрастающей последовательности является последовательность . Ее пределом служит число e, e; это иррациональное число, приближенно равное 2,71828. Его называют также основанием натуральных логарифмов и пишут log_ex = lnx.

Рассмотрим действительную функцию f: Х ®U.

Для функции f существует предел А в точке x_о, х_о Î Х, если для любой сходящейся к х₀ последовательности {x_n}, существует предел последовательности значений функции не зависящий от выбора последовательности {x_n} и равный А.

Предел функции обозначают .

Критерий Коши существования предела функции. Если для любого e > 0 существует d =d(e) > 0 такое, что для всех хÎХ, таких что |х₀ – х|< d (e), выполняется условие

| A - f(x)| < e

(формальная запись: "e $d(e) "x |х₀ – х|< d (e) Þ | A - f(x)| < e),

то т.е. число А является пределом функции f в точке х₀ в смысле первоначального определения через произвольные сходящиеся к х₀ последовательности {x_n}. n

Множество {x: |x₀ – x| < d} называют d - окрестностью точки х₀

Определенный выше предел функции f называют двусторонним; существуют понятия односторонних пределов слева и справа.

Число А⁺ (А^-) называется односторонним пределом справа (слева) функции f в точке х_0, что обозначается (), если члены последовательности {x_n} принадлежат множеству {x| x ³ x₀} ({x| x £ x₀}), т.е. если для любой последовательности {x_n}, сходящейся к х₀ и такой, что x_n ³ x₀ (х_n £ x₀) для любого n = 1, 2, ¼, выполняется условие

Если А⁺ = А^-, то существует и двусторонний предел А, причем А⁺ = А^- =А.

Пример 1.3.

Рассмотрим функцию f(х) = sign (x), определяемую как

Ясно, что в точке х₀=0 существуют левосторонний предел , правосторонний предел причем они не равны, т.е. в х₀ = 0 не существует двустороннего предела. n

Для пределов функций справедливы следующие соотношения:

1) для любых действительных чисел с₁, с₂;

2) для функции-константы (f(x) º c)

3)

4) если то

5) если на Х, то

Функцию f(x) называют бесконечно малой в точке х₀, если Ясно, что функция f(x) имеет предел А в точке х₀ тогда и только тогда, когда функция g(x) = f(x) – A является бесконечно малой в точке х₀.

Функцию f(x) называют бесконечно большой в точке х₀, если для любого числа e > 0 и любой последовательности {x_n}, сходящейся к х₀, существует такое натуральное число N, что для всех n > N | f(x_n)|> e.

Формальная запись: "e $N "n n>N Þ | f(x_n)|> e

Если функция f(xn) бесконечно большая в точке х₀, то условно пишут и говорят в этом случае о бесконечном пределе функции.

Если для любой последовательности {x_n}, сходящейся к х₀, и любого e > 0 существует номер N, что для всех n > N f(x_n)> e (f(x_n) < -e), то пишут () и говорят о бесконечном положительном (отрицательном) пределе функции (формальная запись: "e $N "n n>N Þ f(xn)> e (f(xn) < -e)).

Аналогичным образом вводятся обозначения для односторонних бесконечных пределов и с соответствующим знаком или без него.

Пример 1.4.

1) Условные обозначения и используют для того, чтобы показать характер поведения гиперболы в окрестности нуля, где она ведет себя как бесконечно большая функция соответствующего знака - отрицательная при х<0 и положительная при х > 0.

2)

3) .n

Действительная функция f: X ® Y непрерывна в точке x₀ Î X, если для любого числа e > 0 существует такое число d = d(e) > 0, что для всех точек х, удовлетворяющих условию |х – х₀| < d, выполняется неравенство

|f(x) – f(x₀)| < e.

Формальная запись: "e $d |х – х₀| < d Þ |f(x) – f(x₀)| < e

Иными словами, непрерывная в точке х₀ функция f имеет в качестве своего предела свое значение в точке х ₀, т. е.

Это равносильно тому, что

,

где Dх = х - х ₀ – приращение аргумента, а Dy = f (x) – f (x ₀) – приращение функции, соответствующее Dх.

В терминах предела последовательности эквивалентное определение непрерывности в точке х ₀ звучит так: для любой последовательности { x _n}, , имеет место равенство:

Функция f называется непрерывной справа в точке х₀, если

.

Аналогично определяется понятие непрерывной слева функции в точке х₀.. Функция f называется непрерывной на отрезке [a,b], если одновременно:

1) она непрерывна в каждой внутренней точке х, а < x < b;

2) она непрерывна справа в точке а;

3) она непрерывна слева в точке b.

Следующие теоремы выражают свойства непрерывных функций:

1) Действительная функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нем (первая теорема Вейерштрасса).

2) Действительная функция, непрерывная на отрезке, принимает на нем свои наибольшее и наименьшее значения (вторая теорема Вейерштрасса).

3) Действительная функция, непрерывная на отрезке, принимает на нем любое значение, заключенное между значениями, которые она принимает на концах отрезка (теорема Коши).

4) Действительная функция, непрерывная на отрезке и строго монотонная на нем, обладает единственной обратной функцией, которая также определена на отрезке (области значений исходной функции), непрерывна и строго монотонна на нем (теорема об обратной функции).n

Из теоремы Коши и второй теоремы Вейерштрасса следует, что непрерывная на отрезке функция принимает любые значения, заключенные между ее наибольшим и наименьшим значениями на этом отрезке.

Рис. 1.1 иллюстрирует теоремы Коши и Вейерштрасса, а также следствие из них.

На рис. 1.2. в качестве иллюстрации теоремы об обратной функции изображен график непрерывной и строго монотонной на отрезке [a, b] функции f(x), т.е. функции, обладающей свойством: если а £ х₁ < х₂ £ b,то f(x₁) < f(x₂). Обратная функция определяется на отрезке [A, B], где A = f (a), B = f (b), следующим образом: для y, А £ y £ B, полагаем

g(y) = x, если f(x) = y;

свойства непрерывности и строгой монотонности функции f гарантируют существование и единственность такого х, а также строгую монотонность обратной функции g.

Пример 1.5.

Все элементарные функции – х^а, а^х, log_a x, sin x, cos x,arcsin x, arccos x и др. непрерывны в любой точке их области определения; кроме того, в тех точках, где имеют смысл суперпозиции элементарных функций, т.е. функции вида , где f и g-элементарные действительные функции, – они также непрерывны. n

Точка х₀ из области определения функции f(x) называется точкой разрыва этой функции, если функция f(x) не является непрерывной в этой точке. Если при этом существуют оба конечных односторонних предела и , то говорят о точке разрыва I рода; величина называется скачком функции в точке х₀. В любом другом случае говорят о разрыве II рода.

Функция f(x), заданная на некотором промежутке действительной оси, называется кусочно-непрерывной на этом промежутке, если она имеет на нем конечное число точек разрыва I рода.

На рис. 1.3 изображен график функции

Эта функция определена на отрезке [0, 2] и принимает на нем какие угодно большие по величине значения, т.е. не ограничена на нем. Причиной неограниченности является наличие точки разрыва II рода х ₀ = 1, ибо f (1) = 1, а .

В примере 1.3 функция f(x) = sign (x) имеет в точке x = 0 разрыв I рода; величина скачка функции равна 2.

Дата добавления: 2014-12-29; Просмотров: 433; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!