Результаты ранжирования выборочных данных и вычисление моды и медианы

Используя исходные данные, запишем все заданные значения выборки в виде неубывающей последовательности значений случайной величины X, представленные в табл. 5.

Интервал [ ; ], содержащий все элементы выборки, разобьём на частичные интервалы, используя при этом формулу Стерджеса для определения оптимальной длины и границ этих частичных интервалов.

По формуле Стерджеса длина частичного интервала равна:

Для удобства и простоты расчётов округлим величину .В нашем случае выбираем h=0,7и вычисляем границы интервалов.

Таблица 5

Ранжированный ряд

За начало первого интервала принимаем значение

которое округляем до целого значения и принимаем . Далее вычисляем границы интервалов:

;

Вычисление границ заканчиваем, как только выполняется неравенство

, то есть

После определения частичных интервалов, определяем экспериментальные частоты , равные числу членов вариационного ряда, попадающих в этот интервал:

где , - границы i -го интервала; - значения вариационного ряда.

Набор частот должен удовлетворять равенству:

…

Относительной частотой называют долю наблюдений, попадающих в рассматриваемый интервал:

Плотность распределения относительных частот определим как отношение относительных частот к величине интервала:

,

где является серединой интервала

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны эмпирической плотности распределения:

,

где i =1,2,…, k.

Площадь i-го прямоугольника равна доле случайных величин, попавших в i-йинтервал:

.

Площадь гистограммы относительных частот равна сумме площадей прямоугольников:

Таким образом, функция является статистическим аналогомплотности распределения случайной величины Х,реализации которой получают при статистическом наблюдении.

Полигоном частот называется ломаная линия, отрезки которой соединяют середины горизонтальных отрезков, образующих прямоугольники в гистограмме.

Полигоном относительных частот называется ломаная линия свершинами в точках: ; .

По результатам вычислений составим табл. 6 значений выборочной функции плотности.

Таблица 6

Значения выборочной функции плотности

	[0; )	[ ;1,4)	[1,4;2,1)	[2,1;2,8)	[2,8;3,5)	[3,5;4,2)	[4,2;4,9)	[4,9;5,6)
	0,5	1,05	1,75	2,45	3,15	3,85	4,55	5,25
	0,01666	0,01666	0,08333	0,31666	0,25	0,2	0,1	0,01666
	0,0238	0,0238	0,11904	0,45237	0,35714	0,28571	0,14286	0,0238

В первую строку таблицы поместим частичные интервалы, во вторую строку - середины интервалов, в третью строку запишем частоты -количество элементов выборки, попавших в каждый частичный интервал, в четвёртую строку запишем относительные частоты, в пятую строку запишем значения плотности относительных частот или значения выборочной, экспериментальной функции плотности.

По результатам вычислений функции плотности, представленным в табл. 6, можно сделать вывод, что мода имеет один локальный максимум в окрестностях точки х = 2,45 с частотой = 19.

Оценку медианы находим, используя вариационный ряд, для которого n= 2k = 60 и k= 30:

Сравнение оценок медианы Ме= 2,99 и оценки математического ожидания = показывает, что они отличаются на 1,4 %.

Дата добавления: 2014-12-23; Просмотров: 366; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!