Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида .

Рассмотрим интеграл вида , где -рациональная функция своих аргументов. С помощью подстановки данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции переменной . Справедливы формулы:

.

Заметим, что подстановка является универсальной, так как дает возможность проинтегрировать любую функцию вида . Однако на практике иногда эта подстановка приводит к очень громоздким вычислениям. Поэтому в некоторых частных случаях удобнее использовать другие подстановки:

а) Пусть интеграл имеет вид или . Тогда соответственно применяется замена или , которая приводит рассматриваемый интеграл к интегралу от рациональной функции нового аргумента .

б) Если подынтегральная функция имеет вид , но и содержатся только в четных степенях, то удобнее воспользоваться подстановкой , в результате которой получим интеграл от рациональной функции переменной .

в) Пусть . Тогда возможны 3 случая:

1) Пусть среди чисел и есть хотя бы одно нечетное число. Допустим, для определенности, что - нечетное, т.е. . Тогда, представив и положив , приходим к интегралу, который легко вычисляется.

2) Пусть числа и - четные и неотрицательные. Тогда с помощью формул и можно понизить степени синуса и косинуса под знаком интеграла: ;

3) Пусть оба показателя степени и четные, причем хотя бы один из них отрицателен. В этом случае следует сделать замену или , в результате которой придем к интегралу, который легко вычисляется.

2. Интегралы вида или .

Для вычисления данных интегралов используют подстановки или , которые приводят рассматриваемые интегралы к интегралам от рациональных функций нового аргумента .

Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 367; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!