ЗАНЯТИЕ 14. Неоднородные системы уравнений. Общее решение систем уравнений с использованием теоремы Кронекера-Капелли

☺ ☻ ☺

Практическое использование теоремы Кронекера–Капелли при решении произвольной системы уравнений. Общая схема решения:

A 1 *: Вычисляем ранги: и для матриц и . Если: , то система решений не имеет. Пусть = = . Это значит, что определился общий для матриц и базовый минор: M . На этот минор будем ссылаться при построении общей схемы решения системы.

Замечание: в случае, когда система не имеет решений, учащийся доволен: задание уже выполнено; для специалиста возникшая ситуация сигналит о том, что наблюдение за процессом было некорректным при создании конкретного уравнения-модели и его нельзя учитывать!

A 2 *: В системе уравнений оставляем только те уравнения-строки, которые попали в базовый минор: остальные являются следствием выделенных.

Замечание: помня, что каждое уравнение системы имеет для специалиста особый смысл, стремятся так реализовать алгоритм выделения базового минора, чтобы наиболее интересные для специалиста уравнения попали в базовый минор!

A 3 *: В левой части каждого из оставшихся для дальнейшего решения уравнений оставляем те столбцов с неизвестными, которые попали в базовый минор: остальные неизвестные объявляем свободными и соответствующие столбцы с ними переносим в правую часть.

Замечание: процесс объявления некоторых неизвестных свободными для специалиста не является случайным: это варьируемые параметры процесса, при помощи которых можно выделять наиболее желательные реализации процесса!

A 4 *: Находим решения преобразованной системы уравнений, применяя формулы Крамера: определитель преобразованной системы не равен нулю!

A 5 *: Полученное решение системы называют общим: вычисленные по формулам Крамера неизвестные выражаются через свободные неизвестные. Присваивая свободным неизвестным произвольные значения, получаем частные решения.

Замечание: отметим ещё раз, что свободных неизвестных : их можно воспринимать как число степеней свободы процесса; вычисляемых неизвестных – .

••• ≡ •••

Пример 14 – 1: Исследовать систему уравнений: Найти общее решение и одно частное.

Решение:

1). Составим матрицы: = , = .

2). Найдем ранги матриц и . Начнём с матрицы системы . Не равных нулю миноров 2-го порядка несколько. Это значит, что . Выделим для окаймления минор (не равен нулю), расположенный в правом верхнем углу матрицы :

3). Окаймляющие миноры будем обозначать: , где – указывает номер отмеченной для окаймления строки, – указывает номер отмеченного для окаймления столбца. Тогда можем записать:

= =4· –8· +12· = m ₁· (5) – h ₁· (4) + g ₁· (1) =4·(5)–8·(4)+12·(1) =0;

Замечание: параметры: m ₁, h ₁, g ₁ изменяются при переходе к минорам , , числа: (5), (4), (1) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!

= = m ₂· (5) – h ₂· (4) + g ₂· (1) = 3·(5)–6·(4)+9·(1) =0;

= = m ₃· (5) – h ₃· (4) + g ₃· (1) = 3·(5)–7·(4)+13·(1) =0.

4). Так как все миноры 3-го порядка оказались равными нулю, то = =2. Это значит – система совместна.

5). Учитывая расположение не равного нулю минора, 3-е уравнение отбрасываем и свободными неизвестными объявляем и :

далее применяем правило Крамера:

=1; = = ; = =1.

6). Общее решение системы: = = ; = =1; частное решение получим при значениях: =–1, =1, → =0, =1.

Ответ: общее решение: = = ; = =1; частное решение: (–1,1,0,1).

Пример 14 – 2: Исследовать систему уравнений: Найти общее решение и одно частное.

Решение:

1). Составим матрицы: = , = .

2). Найдем ранги матриц и . Начнём с матрицы системы . Не равных нулю миноров 2-го порядка несколько. Это значит, что . Выделим для окаймления минор (не равен нулю), расположенный в правом верхнем углу матрицы :

3). Окаймляющие миноры будем обозначать: , где – указывает номер отмеченной для окаймления строки, – указывает номер отмеченного для окаймления столбца. Тогда можем записать:

= =(–2)· –(–4)· +(–6)· = m ₁· (–1) – h ₁· (–2) + g ₁· (–1) =

= (–2)·(–1)–(–4)·(–2)+(–6)·(–1)=0;

Замечание: параметры: m ₁, h ₁, g ₁ изменяются при переходе к минорам , , числа: (–1), (–2), (–1) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!

= = m ₂· (–1) – h ₂· (–2) + g ₂· (–1) =3·(–1)–6·(–2)+9·(–1)=0;

= = m ₃· (–1) – h ₃· (–2) + g ₃· (–1) = 2·(–1)–3·(–2)+4·(–1)=0.

4). Так как все миноры 3-го порядка оказались равными нулю, то = =2. Это значит – система совместна.

5). Учитывая расположение не равного нулю минора, 3-е уравнение отбрасываем и свободными неизвестными объявляем и :

далее применяем правило Крамера:

=–1; = = ; = = .

6). Общее решение системы = = , = = , частное решение получим при значениях: = =1, → =1, =–1.

Ответ: общее решение системы = = , = = ; частное: (1,1,1,–1).

Пример 14 – 3: Исследовать систему: Найти общее и частное решение.

Решение:

1). Составим матрицы: = , = .

2). Найдем ранги матриц и . Начнём с матрицы системы . Не равных нулю миноров 2-го порядка несколько. Это значит, что . Выделим для окаймления минор (не равен нулю), расположенный в правом верхнем углу матрицы :

3). Окаймляющие миноры будем обозначать: , где – указывает номер отмеченной для окаймления строки, – указывает номер отмеченного для окаймления столбца.

Замечание: догадываемся, что после вычисления не нужно переходить к вычислению миноров , , , а вычислить раньше минор .

= =4· –8· +13· = m ₁· (–2) – h ₁· (–1) + g ₁· (0) =

=4·(–2)–8·(–1)+13·(0)=0.

Замечание: параметры: m ₁, h ₁, g ₁ изменяются при переходе к минору , числа: (–2), (–1), (0) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!

= = m ₂· (–2) – h ₂· (–1) + g ₂· (0) =1·(–2)–1·(–1)+2·(0) = –1≠0.

4). Интуиция сработала! Так как ≠0, то теперь будем окаймлять этот минор и вычислять окаймляющие миноры. Для удобства поменяем местами строки 3 и 4:

= =(–1)· –(–3)· +(–2)· – (–3)· ,

или: = m ₁· (–6) – h ₁· (–1) + g ₁· (0) – q ₁· (–1) =(–1)·(–6)–(–3)·(–1)+(–2)·(0)–(–3)·(–1) =0;

Замечание: параметры: m ₁, h ₁, g ₁ изменяются при переходе к минорам , , числа: (–12), (14), (0), (–2) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!

= = m ₂· (–6) – h ₂· (–1) + g ₂· (0) – q ₂· (–1) = 2·(–6)–6·(–1)+4·(0)–6·(–1) =0;

= = m ₃· (–6) – h ₃· (–1) + g ₃· (0) – q ₃· (–1) = 2·(–6)–3·(–1)+1·(0)–9·(–1) =0.

5). Следует: = 3. Учитывая расположение не равного нулю минора, 3-е уравнение отбрасываем и свободными неизвестными объявляем и :

далее применяем правило Крамера, учитывая, что определитель системы равен =–1:

= = = ;

= = =0;

= = =– .

6). Общее решение системы: = = ; = =0; = = ; частное решение получим при значениях: =1, =2, → =–1, =0, =1.

Ответ: общее решение: = = ; = =0; = = ; частное: (1,2,–1,0,1).

Пример 14 – 4: Исследовать систему уравнений: Найти общее решение и одно частное.

Решение:

1). Составим матрицы: = , = .

2). Найдем ранги матриц и . Начнём с матрицы системы . Не равных нулю миноров 2-го порядка несколько. Это значит, что . Выделим для окаймления минор (не равен нулю), расположенный в левом верхнем углу матрицы :

3). Окаймляющие миноры будем обозначать: , где – указывает номер отмеченной для окаймления строки, – указывает номер отмеченного для окаймления столбца. Тогда можем записать:

= = 3 –2 +1 = m ₁· (–33) – h ₁· (–55) + g ₁· (–11) =

=3·(–33)–2·(–55)+1·(–11) =0;

Замечание: параметры: m ₁, h ₁, g ₁ изменяются при переходе к минорам , , числа: (–33), (–55), (–11) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!

= = m ₂· (–33) – h ₂· (–55) + g ₂· (–11) = 1·(–33) –2·(–55)+7·(–11)=0;

= = m ₃· (–33) – h ₃· (–55) + g ₃· (–11) = 6·(–33) –4·(–55)+2·(–11) =0.

4). Следует: ранг матрицы : =2. Так как = =2, то система совместна.

5). Учитывая расположение не равного нулю минора, 3-е уравнение отбрасываем и свободными неизвестными объявляем и :

далее применяем правило Крамера:

= – 11; = = ; = = .

6). Запишем общее решение системы = ; = . Частное решение системы получим при значениях: =0, = 1 → = –1, = 1.

Ответ: общее решение системы = , = ; частное решение: (–1,1,0,1).

☻