Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид такого уравнения:

(1),

где и – заданные функции от . Это уравнение является линейным относительно искомой функции и её производной.

Если , то линейное дифференциальное уравнение (1) называется однородным. Оно имеет вид и решается методом разделения

переменных:

.

.

,

где – некоторая первообразная функции , а – произвольная постоянная.

Если , то уравнение (1) принимает вид и решается методом разделения переменных:

где – некоторая первообразная функции , а – произвольная постоянная.

Существуют различные приемы решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Рассмотрим два из них.

Способ 1. Этот прием решения основан на применении следующей т е о р е м ы: если – некоторое решение уравнения (1), то все решения этого уравнения задаются формулой:

,

где – общее решение однородного уравнения. Иными словами, для нахождения общего решения уравнения (1) достаточно найти хотя бы одно его частное решение.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения: .

Ре ш е н и е. Подбором находим, что функция является решением данного линейного неоднородного уравнения.

1 Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

где .

Общее решение данного уравнения имеет вид:

Способ 2. Этот прием решения основан на простом замечании, что любую величину (переменную или постоянную) можно представить в виде произведения двух множителей: , причем один из них можно выбрать произвольно (лишь бы он был отличен от нуля).

Например, в равенстве можно взять , тогда .

Можно взять , тогда и т. д.

Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде где и – функции от .

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Р е ш е н и е. Данное уравнение является линейным. Полагаем , тогда и уравнение преобразуется к виду: или

Так как один множитель можно выбрать произвольно, то выберем в качестве какой-либо частный интеграл уравнения Тогда для отыскания получим уравнение .

Решим уравнение ; имеем

В качестве выбран частный интеграл уравнения при .

Подставляя значение во второе уравнение и решая его, найдем , как общий интеграл этого уравнения:

.

Зная и , находим искомую функцию :

Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 492; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!