Координаты центра окружности можно вычислить, решив, например, линейную засечку с пунктов A и B на точку C . 2 страница

;

дирекционный угол α_AB следует взять равным углу α из решения обратной геодезической задачи между точками A и B; ;

- решить прямые геодезические задачи:

из пункта A на точку P

,

,

и из пункта B на точку P

,

;

расхождение координат и по двум решениям не должно превышать 0,02 м;

- вычислить ошибку положения точки P по формуле

.

Пример решения линейной засечки приведён в таблице 7.

Напоминание: При выполнении операций 19 и 20 искомый угол (β₁ или β₂) следует перевести из десятичной формы в полную форму, округлить до целых секунд и затем уже записать в таблицу вычислений. Перед выполнением операций 23 и 24 нужно перевести в десятичную форму угол ; перед выполнением операций 25 и 26 нужно перевести в десятичную форму угол .

Таблица 7 - Решение линейной засечки

№ п/п	Обозначения (точка Р справа от линии АВ)	Вычисления
	b (м) S1 S2 (справа) b2 S12 S22	1 499, 78 1 000, 00 1 200, 00 2 249 340 1 000 000 1 440 000
	b2 + S12 − S22 Cos β1 = (13) / (14)	1 809 340 2 999 560 + 0, 603 202
	αAB β1 = arcos (15) αAP = (6) + (19)	3040 07’ 08” 52 54 02 357 01 10
	XA (м) X2 = (1) + (23) Y2 = (2) + (24) YA	6 643 000, 00 + 998, 65 6 642 998, 65 7 374 948, 00   − 52, 00 7 375 000, 00
	b2 + S22 − S12 Cos β2 = (16) / (17)	2 689 340 3 599 472 + 0, 747 148
	αBA = αAB ± 1800 β2 = arcos (18) αBP = (7) − (20)	1240 07’ 08” 41 39 22 82 27 46
	XB (м) X = (3) + (25) Y = (4) + (26) YB	6 642 841, 24 + 157, 40 6 642 998, 64 7 374 948, 00   + 1 189, 63 7 373 758, 37
		850 26’ 36”
	MP (м)	0, 16

3.2.7. Обратная угловая засечка

К элементарным измерениям относится и измерение угла на определяемой точке между направлениями на два пункта и с известными координатами и . Однако, это измерение оказывается теоретически довольно сложным, поэтому рассмотрим его отдельно. Проведем окружность через три точки . Из школьного курса геометрии известно, что угол с вершиной на окружности измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, измеряется всей дугой, следовательно, он будет равен (рис.34).

Рисунок 34 - К вычислению R и координат Ц Рисунок 35 – Обратная угловая засечка

Расстояние между пунктами и считается известным, и из прямоугольного треугольника можно найти радиус окружности

. (3.3)

Уравнение окружности имеет вид

, (3.4)

где - координаты центра окружности. Их можно вычислить, решив либо прямую угловую, либо линейную засечку с пунктов и на точку . В уравнении (3.4) - координаты любой точки окружности, в том числе и точки , но для нахождения двух координат точки одного такого уравнения недостаточно. Обратной угловой засечкой называют способ определения координат точки по двум углам и , измеренным на определяемой точке между направлениями на три пункта с известными координатами (рис.35).

Исходные данные: ;

Измеряемые элементы: ;

Неизвестные элементы: координаты точки - .

Графическое решение. Приведем способ Болотова графического решения обратной угловой засечки. На листе прозрачной бумаги (кальки) нужно построить углы и с общей вершиной ; затем наложить кальку на чертеж и, перемещая ее, добиться, чтобы направления углов на кальке проходили через пункты на чертеже; переколоть точку с кальки на чертеж.

Аналитическое решение. Аналитическое решение обратной угловой засечки предусматривает ее разложение на более простые задачи, например, на две прямые угловые засечки и одну линейную, или на три линейных засечки и т.д. Известно более десяти способов аналитического решения, но мы рассмотрим только один - через последовательное решение трех линейных засечек. Предположим, что положение точки известно, и проведем две окружности: одну радиусом через точки и другую - радиусом через точки (рис.35). Радиусы этих окружностей получим по формуле (3.3)

; .

Если координаты центров окружностей (точек и ) будут известны, то координаты точки можно определить по формулам линейной засечки: из точки по расстоянию и из точки - по расстоянию . Координаты центра можно найти по формулам линейной засечки из точек и по расстояниям , причем из двух решений нужно взять то, которое соответствует величине угла ; если , то точка находится справа от линии ; если , то точка находится слева от линии . Координаты центра находятся по формулам линейной засечки из точек и по расстояниям , и одно решение из двух возможных выбирается по тому же правилу: если , то точка находится справа от линии , если , то точка находится слева от линии .

Задача не имеет решения, если все четыре точки и находятся на одной окружности, так как обе окружности сливаются в одну, и точку их пересечения указать невозможно.

1.2.1. Комбинированные засечки

В рассмотренных способах решения засечек количество измерений принималось теоретически минимальным (два измерения), обеспечивающим получение результата, однако, при этом нет контроля правильности измерений. На практике для нахождения координат и одной точки, как правило, выполняют не два, а три и более измерений; понятно, что в этом случае появляется возможность контроля измерений, и, кроме того, повышается точность решения задачи. Каждое измерение, вводимое в задачу сверх теоретически минимального количества, называют избыточным; оно порождает одно дополнительное решение. Геодезические засечки без избыточных измерений принято называть однократными, а засечки с избыточными измерениями - многократными.

При наличии избыточных измерений вычисление неизвестных выполняют по способу уравнивания. В настоящее время алгоритмы строгого уравнивания измерений в различных геодезических построениях реализованы в машинных программах на ЭВМ; для ручного счета обычно применяют нестрогие (упрощенные) способы уравнивания. Упрощенный способ уравнивания какой-либо многократной засечки ( измерений) предусматривает сначала формирование и решение всех возможных вариантов независимых однократных засечек (их число равно ), а затем - вычисление средних значений координат точки из всех полученных результатов, если они различаются между собой на допустимую величину.

1.2.2. Ошибка положения точки в однократных засечках

Положение точки на плоскости по двум измерениям получается в пересечении двух линий положения. Для измеренного расстояния линией положения является окружность радиуса с центром в исходном пункте (рис.36-а); для измеренного угла с вершиной в исходном пункте - прямая линия, проведенная под углом к исходной линии (рис.36-б).

Рисунок 36 - Линия положения и "полоса положения" точки :

а) для измеренного расстояния, б) для измеренного угла.

Вследствие ошибок измерений необходимо ввести понятие "полоса положения". Для расстояния , измеренного со средней квадратической ошибкой - это круговой пояс (кольцо) шириной между двумя окружностями радиусами и ; для угла , измеренного с ошибкой - это узкий треугольник с вершиной в точке и углом при вершине . Линия положения точки является осью симметрии полосы положения (рис.37).

Введем понятие "вектор ошибки измерения" и обозначим его через . Для измеренного расстояния вектор направлен вдоль линии (прямо или обратно) и имеет модуль ; для измеренного угла вектор направлен перпендикулярно линии (влево или вправо от нее) и имеет модуль , где .

Точка , находясь на пересечении двух линий положения, является центром четырёхугольника положения, образующегося в пересечении двух полос положения (рис.37). Этот элементарный четырёхугольник можно считать параллелограммом, так как в пределах него дуги окружностей можно заменить отрезками касательных, а расходящиеся стороны угла - отрезками прямых, параллельных линии положения. Расстояния от точки до границ четырёхугольника неодинаковы, что говорит о различии ошибок положения точки по разным направлениям.

Рисунок 37 - Четырёхугольник положения:

а) в линейной засечке, б) в прямой угловой засечке.

Линии положения делят четырёхугольник положения на 4 равные части (рис.38), которые назовем параллелограммами ошибок с углами при вершинах и , где - - угол между векторами ошибок и .

Рисунок 38 – Параллелограммы ошибок

Поскольку высоты параллелограммов ошибок численно равны модулям векторов и , то стороны параллелограммов получаются по известным формулам (рис.38)

; . (3.5)

Наибольшее уклонение от точки имеют две противоположные вершины параллелограмма положения; две другие вершины имеют наименьшее уклонение. В любом геодезическом построении существует так называемое "наиболее слабое место"; в этом месте ошибка какого-либо элемента имеет наибольшее значение. Как правило, для обобщенной характеристики точности данного построения берется значение ошибки именно в этом наиболее слабом месте. В соответствии с этим принципом за ошибку положения точки можно принять длину большой диагонали параллелограмма ошибок

или с учетом (3.5)

.

Ошибка положения точки - это скалярная величина, показывающая среднее квадратическое отклонение по разным направлениям вычисленного положения точки от ее истинного положения

Из этой формулы легко получаются известные формулы для оценки точности любой однократной засечки:

- полярная засечка: ; ; ;

;

- прямая угловая засечка: ; ;

;

- линейная засечка: ; ;

.

- обратная угловая засечка:

В этой засечке правая часть формулы ошибки положения точки должна содержать три слагаемых:

- за ошибку линейной засечки точки с исходных пунктов и ,

- за ошибку линейной засечки точки с исходных пунктов и ,

- за ошибку линейной засечки точки с точек и .

Для многих случаев практики достаточно считать, что истинное положение точки находится внутри круга радиуса с центром в точке . В строгой теории рассмотренный критерий называется радиальной ошибкой. Кроме того, в этой теории применяются и более сложные критерии, такие как "эллипс ошибок" (кривая 2-го порядка), "подера эллипса ошибок" (кривая 4-го порядка) и др.

При количестве измерений (многократные засечки) точка получается в пересечении линий положения, соответствующих уравненным значениям измерений; полосы положения, пересекаясь, образуют -угольник. Ошибка положения точки будет определяться расстоянием от точки до самой удаленной от нее вершины этого многоугольника.

Дата добавления: 2014-12-07; Просмотров: 630; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!