Временное уравнение Шредингера

1. Плоская волна де Бройля

соответствует равномерному свободному движению частицы в определенном направлении с определенным импульсом . Но движения могут быть самыми разнообразными, особенно при наличии силовых полей. Основная задача квантовой механики заключается в отыскании всевозможных волновых функций связанных с ними физических следствий в самых разнообразных условиях. Для этого необходимо отыскать соответствующее волновое уравнение. Оно было записано Шредингером в 1926 году для нерелятивистского случая, то есть в случае движений медленных по сравнению со скоростью света.

Уравнение Шредингера должно быть общим для всех движений. Поэтому уравнение не должно содержать параметров, выделяющих конкретное движение. В силу принципа суперпозиции оно должно быть линейным и однородным. Как и любое волновое уравнение, оно должно содержать частные производные по координатам и времени.

Поскольку волновая функция, описывающая состояние микрочастицы в момент t + dt определяется волновой функцией в момент t и ее первой производной

,

то для определения волновой функции в произвольный момент времени мы должны находить с помощью волнового уравнения. Поэтому волновое уравнение должно содержать только частную производную первого порядка по времени. Следует заметить, что вывести уравнение Шредингера невозможно (здесь ситуация такая же как с законами механики и электродинамики). Основные законы логически вывести нельзя. Доказательством их справедливости служит справедливость всей совокупности следствий из них вытекающих, которые допускают экспериментальную проверку.

Поэтому мы идем не логическим, а эвристическим путем (методом догадок). Поскольку плоские волны де Бройля должны быть одним из возможных решений волнового уравнения, то попробуем построить волновое уравнение сначала для свободных частиц.

2. Дифференцируя уравнение плоской волны по координате Х, запишем

.

Такие же соотношения можно записать для координат Y и Z. Сложив все три вторые производные, найдем

. (1)

Это дифференциальное уравнение содержит импульс - характеристику конкретного движения и, кроме того, не содержит .

Дифференцируя уравнение плоской волны по времени, также найдем

(2)

которое описывает также конкретный вид движения - движение в свободном пространстве с постоянной кинетической энергией

.

Учитывая это выражение, мы можем из (1) и (2) сконструировать уравнение

.

Это уравнение является линейным, однородным, дифференциальным уравнением второго порядка по координатам и первого порядка по времени. Оно не содержит никаких параметров конкретного движения.

Оно и является искомым уравнением Шредингерав отсутствие силовых полей.

Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 961; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!