Методические указания. к практическим занятиям

к практическим занятиям

по дисциплине

“Теория выбора и принятия решений ”

специальности 010501 «Прикладная математика и информатика»
очной формы обучения

Тула 2009г.

составлены доцентом Г.А Родионовой, и обсуждена на заседании кафедры прикладной математики и информатики механико-математического факультета,

протокол №________ от “___”_______________2010г.

Зав. кафедрой ________________________ Иванов В.И.

пересмотрены и утверждены на заседании кафедры прикладной математики и информатики механико-математического факультета,

протокол №________ от “___”_______________2010__г.

Зав. кафедрой ________________________ Иванов В.И.

ВВЕДЕНИЕ

Принятие решений является действием, придающим всей деятельности целенаправленность. Принятие решений реализует подчиненность всей деятельности определенной цели или совокупности целей. Рано или поздно наступает момент, когда действия могут быть различными, которые приводят к различным результатам. Причем, реализовать можно только одно действие и, как правило, вернуться к исходной ситуации нельзя.

В ситуациях, когда выбор, обоснование и оценка последствий решений не могут быть выполнены на основе точных расчетов, применяют экспертные методы. Такие ситуации нередко возникают при разработке современных проблем управления общественным производством и, особенно, при прогнозировании и долгосрочном планировании. В последние годы экспертные оценки находят широкое применение в социально-политическом и научно-техническом прогнозировании, в планировании народного хозяйства, отраслей, объединений, в разработке крупных научно-технических, экономических и социальных программ, в решении отдельных проблем управления.

ЗАНЯТИЕ №1. Принципы выбора наилучшей альтернативы

Цель работы

Изучение основных принципов выбора, приобретение навыков их применения

Теоретическая справка

Ранжирование является распространенной процедурой получения экспертной информации. Эксперту предъявляется набор альтернатив , подлежащих оцениванию, и предлагается упорядочить их по предпочтениям (по убыванию или возрастанию предпочтений). Выстроенные таким образом альтернативы нумеруются числами натурального ряда, называемые рангами или нормализованными рангами.

1. Ранжирование с использованием стандартизированных рангов. В процессе ранжирования иногда возникают ситуации, когда эксперт считает некоторые альтернативы неразличимыми, т.е. с его точки зрения эти объекты должны располагаться на одном месте. В этом случае альтернативам приписывают стандартизированные ранги, определяемые как среднее суммы нормализированных рангов (номеров неразличимых объектов), поделенных между неразличимыми объектами.

2. Альтернатива Кондорсе. Пусть ранжированием занимается группа, состоящая из экспертов, для каждого из которых неразличимых альтернатив нет (альтернативы упорядочены по убыванию предпочтений). Необходимо получить результирующую ранжировку, основанную на объединении информации, полученной от всех экспертов.

Французский ученый века Кондорсе предложил следующий подход. Для каждой пары альтернатив подсчитаем число экспертов , считающих альтернативу более предпочтительной, чем . Если , то альтернатива признается более предпочтительной, чем , предпочтительность обозначается символом . Альтернатива объявляется наилучшей (альтернативой Кондорсе), если для всех , т.е. она является не менее предпочтительной относительно всех остальных альтернатив. Таким образом, для поиска альтернативы Кондорсе строится квадратная матрица размером попарных сравнений альтернатив, элементами которой являются :

Альтернативе Кондорсе соответствует строка, состоящая из всех единиц. Результирующее ранжирование строится путем последовательного исключения очередной альтернативы Кондорсе и поиска следующей такой из оставшихся.

3. Принцип Борда. Условия экспертизы такие же как и в случае поиска альтернативы Кондорсе. Альтернативам вместо рангов каждый эксперт приписывает следующие числа: последней по предпочтениям – 0, предпоследней – 1 и т.д. Если через обозначить сумму чисел приписанных альтернативе , то наилучшей альтернативой является альтернатива Борда, для которой имеем , а результирующим объявляется ранжирование , для которого .

Задание

Каждый представитель совета, состоящего из пяти экспертов, оценил качество аудиосистем (одного класса) шести ведущих фирм производителей аудиотехники: а ₁. Sony, а ₂. Panasonic, а ₃. Yamaha, а ₄. Pioneer, а ₅. Aiwa, а ₆. LG в соответствие со следующими данными

эксперт № 1

эксперт № 2

эксперт № 3

эксперт № 4

эксперт № 5

Решить задачу с помощью:

1. стандартизированных рангов
2. метода Кондорсе
3. метода Борда

ЗАНЯТИЕ №2. Выбор наилучшей альтернативы по медиане кемени

Цель работы

Изучение основных принципов выбора по медиане Кемени, приобретение навыков применения метода

Теоретическая справка

Естественно предположить, что наилучшее результирующее ранжирование должно быть расположено как можно ближе к индивидуальным ранжированиям экспертов ‑ , и являться в определенном смысле «усредненным» ранжированием. Такое ранжирование называют медианой Кемени:

,

где ‑ расстояние между ранжировками и .

Метрика как расстояние между -й и -й ранжировками определяется следующим образом где ‑ элементы матриц отношений и , соответствующих ранжированиям и , определяемые как

Расстояние от произвольного ранжирования , которому соответствует матрица отношений , до всех ранжирований определяется формулой:

.

Очевидно, что при величины имеют значения

При вычислении медианы Кемени используют матрицу потерь размером с элементом , определяющим суммарный штраф на несовпадение предпочтения альтернативы перед альтернативой в ранжировании по сравнению с соответствующими предпочтениями в ранжировках экспертов и может быть определен следующим образом:

Задача отыскания медианы Кемени формулируется как задача отыскания такого упорядочения альтернатив, т.е. упорядочения строк и одновременно столбцов матрицы , чтобы сумма элементов матрицы , расположенных над диагональю, была минимальна.

Задание

1. Построить матрицу отношений для каждого эксперта из предыдущего занятия

2. Построить матрицу потерь

3. Найти медиану Кемени

ЗАНЯТИЕ №3. Проверка согласованности мнений экспертов

Цель работы

Изучение основных способов проверки согласованности мнений экспертов

Теоретическая справка

При ранжировании объектов эксперты обычно расходятся во мнениях по решаемой проблеме. В связи с этим возникает необходимость количественной оценки степени согласия экспертов. Получение количественной меры согласованности мнений экспертов позволяет более обоснованно интерпретировать причины в расхождении мнений.

1. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена . Рассмотрим два строгих ранжирования, в которых нет неразличимых альтернатив и обозначим их как случайные величины и , в каждой из них вычислим все попарные разности рангов между собой, которые образуют ряд наблюдений соответствующей случайной величины. Нормированный смешанный момент двух полученных случайных величин будет иметь вид:

,

проведя ряд преобразований, можно получить следующее выражение:

Коэффициент Спирмена изменяется от 1 до -1, где значение -1 достигается для противоположных ранжировок, т.е. . Если в ранжированиях есть неразличимые альтернативы, то применяется скорректированная формула. Пусть в ранжировании есть групп повторяющихся стандартизированных рангов. Вычислим поправку , где ‑ число повторений соответствующего ранга в -ой группе. С учетом поправок коэффициент Спирмена имеет вид:

2. Коэффициент ранговой корреляции Кендалла . Для двух строгих ранжирований и возьмем их матрицы отношений и и обозначим и , где , тогда коэффициент ранговой корреляции Кендалла будет иметь вид:

.

Коэффициент Кендалла изменяется от 1 до -1, где значение -1 достигается для противоположных ранжировок, т.е. . Если в ранжированиях есть неразличимые альтернативы, то применяется скорректированная формула. Пусть в ранжировании есть групп повторяющихся стандартизированных рангов. Вычислим поправку , где ‑ число повторений соответствующего ранга в -ой группе. С учетом поправок коэффициент Кендалла имеет вид:

3. Коэффициент конкордации Кендалла . С его помощью оценивают согласованность ранжирований экспертов. В случае если имеем все строгие ранжирования, то коэффициент конкордации вычисляется по формуле:

где ‑ число экспертов, ‑ число альтернатив, ‑ ранг альтернативы у -го эксперта.

Чем более согласованы мнения экспертов, тем ближе значение коэффициента к единице. Чем больше разногласий среди экспертов, тем ближе значение коэффициента к нулю. Если в ранжированиях есть неразличимые альтернативы, то применяется скорректированная формула. Пусть в ранжировании есть групп повторяющихся стандартизированных рангов. Вычислим поправку , где ‑ число повторений соответствующего ранга в -ой группе. С учетом поправок коэффициент конкордации имеет вид:

4. Проверка значимости значений коэффициентов. Выдвигается нулевая гипотеза о равенстве нулю соответствующего коэффициента. Для не слишком малого числа альтернатив ( для коэффициентов ранговой корреляции и для коэффициента конкордации) при уровне значимости проверка выполняется с помощью неравенств:

Если неравенство выполнено, то нулевая гипотеза отвергается.

ЗАДАНИЕ

Провести проверку согласованности мнений трех экспертов (попарно и всех трех одновременно)

эксперт № 1

Альтернатива
Место
Номер

эксперт № 2

Альтернатива
Место
Номер

эксперт № 3

Альтернатива
Место
Номер

ЗАНЯТИЕ №4. ОЦЕНКА КОМПЕТЕНТНОСТИ ЭКСПЕРТОВ ПО ВЗАИМООЦЕНКАМ

Цель работы

Изучение процедуры взаимооценки экспертов

Теоретическая справка

Проблема оценки компетентности в данном случае решается как «задача о лидере» при определении относительной силы игрока в турнире. Информация о взаимооценке представляется в виде матрицы , где равно балльной оценке компетентности -го эксперта -м экспертом, причем

Процедура вычисления вектора взаимооценки представляет собой следующий рекуррентный процесс:

,

где ‑ число экспертов.

С учетом нормировки, получим

Из линейной алгебры известно, что данный процесс сходится к собственному вектору, соответствующему максимальному собственному числу линейного преобразования . Условием сходимости данного процесса к собственному вектору, соответствующему максимальному собственному числу, является неразложимость квадратной матрицы , ее разложимость свидетельствует о серьезных разногласиях среди экспертов, т.е. их общее мнение не является согласованным. В этом случае необходимо сформировать другую группу экспертов, либо применить процедуру взаимооценки отдельно в каждой подгруппе.

ЗАДАНИЕ

Оценить компетентность пяти экспертов по следующим взаимооценкам:

.

ЗАНЯТИЕ №5. ОЦЕНКА КОМПЕТЕНТНОСТИ ЭКСПЕРТОВ ПО результатам экспертизы

Цель работы

Изучение процедуры оценки компетентности экспертов по результатам экспертизы

Теоретическая справка

В данном подходе реализуется идея о том, что компетентность эксперта определяется степенью согласованности его мнения с мнением большинства.

Пусть дана таблица мнений экспертов о распределении ресурсов (капитальных вложений) между проектами:

	Эксперты
		…
Проект 1			…
Проект 2			…
…	…	…	…	…
Проект			…

Процедура вычисления вектора ‑ компетентности экспертов и вектора ‑ оценок проектов представляет собой следующий «двойной» рекуррентный процесс:

или

Условием сходимости данных двух процессов является неразложимость матриц и , ее разложимость означает, что эксперты и проекты распадаются на две несвязанные группы, где каждая группа экспертов оценивает только «свою» группу проектов.

ЗАДАНИЕ

Оценить компетентность экспертов по следующим результатам экспертизы:

Рекомендуемая литература

1. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ. Синтез. Планирование решений в экономике. М.: Финансы и статистика, 2001.
2. Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2002.-368с
3. Розен В.В. Математические модели принятия решений в экономике. Учебное пособие. М. Книжный дом «Университет», Высшая школа, 2002,-288с.
4. Родионова Г.А. Исследование систем управления. Учебное пособие. Тула, ТулГу, 2002г
5. . Бешелев С.Д., Гурвич Ф.Г. Экспертные оценки. М.: Наука, 1973. ‑ 246 с.
6. . Бешелев С.Д., Гурвич Ф.Г. Экспертные оценки в принятии плановых решений. М.: Экономика, 1976. ‑ 287 с.
7. . Миркин Б.Г. Проблема группового выбора. М.: Наука, 1974. ‑ 256 с.

Дата добавления: 2014-12-07; Просмотров: 512; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!