О нормальной системе МНК при полиномиальной аппроксимации.

⇐ Предыдущая 16 17 18 192021 22 23 24 Следующая ⇒

Возьмем в качестве базисных функций для обобщенного многочлена (3) степенные функции:

В таком случае он превращается в обычный многочлен степени m канонического вида:

Если то
называется тригонометрическим полиномом порядка m.

Основная система может состоять также из показательных функций е^jx и других функций.

Посмотрим, что представляет собой система (4) для вычисления коэффициентов многочлена Q_m(x), если ставится задача аппроксимировать с его помощью некоторую функцию f(x), заданную в (n+1) узле x₀, x₁, …, x_n.

Будем использовать метод наименьших квадратов.

Согласно этому методу за меру отклонения полинома от данной функции f(x) на множестве точек x₀, x₁,…, x_n, принимают величину

Очевидно, что F есть функция коэффициентов a₀, a₁,…, a_m,. эти коэффициенты надо подобрать так, чтобы величина F была наименьшей.

Полученный полином Q_m называют аппроксимирующим для данной функции, а процесс построения этого полинома – квадратичной аппроксимацией (аппроксимированием) функции.

Для решения этой задачи воспользуемся общим приемом дифференциального исчисления. Найдем частные производные от
,
где y_i=f(x_i) по всем переменным a₀, a₁,…, a_m.

Приравнивая эти частные производные к нулю, получим систему (m+1) уравнений с (m+1) неизвестными a₀, a₁,…, a_m.

Обозначим

Преобразуя систему (m +1) уравнений и используя эти обозначения, получим:

Систему уравнений относительно a₀, a₁,…, a_m, S₀=n+1.

Можно доказать, что если среди точек x₀, x₁,…, x_n нет совпадающих и m£ n, то определитель системы ¹0 и, следовательно, эта система имеет единственное решение. Полином с такими коэффициентами будет обладать минимальным квадратичным отклонением F.

Если m = n, то Q_m = L_m (x), причем F = 0.

Таким образом, аппроксимирование функций представляет собой более общий процесс, чем интерполирование. Для решения системы уравнений можно применять итерационный процесс, в частности метод Зейделя для нормальных систем, так как матрица из коэффициентов при неизвестных a₀, a₁,…, a_mположительно определенная.

⇐ Предыдущая 16 17 18 192021 22 23 24 Следующая ⇒

Поделиться с друзьями:

Дата добавления: 2014-12-07; Просмотров: 484; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

studopediasu.com - Студопедия (2013 - 2026) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление

Генерация страницы за: 0.012 сек.