Зразки розв’язування задач. Приклад 1.(Задача 2.1(а)) Знайдемо

Приклад 1.(Задача 2.1(а)) Знайдемо .

Розв’язання.

При чисельник і знаменник даної функції перетворюються в нуль, тобто маємо невизначеність , яку треба розкрити. Для цього розкладемо на множники чисельник та знаменник: , . Скорочуючи чисельник та знаменник на та переходячи до границі, маємо

.

Приклад 2.(Задача 2.1(а)) Знайдемо .

Розв’язання.

Тут чисельник та знаменник прямують до нуля:

.

Для розкриття невизначеності поділимо чисельник та знаменник на . При матимемо:

.

Обчислюючи границю чисельника та знаменника, знову приходимо до невизначеності , оскільки .

Ще раз ділимо чисельник та знаменник на . Тоді

.

Отже, .

Приклад 3.(Задача 2.1 (б)) Знайдемо .

Розв’язання.

При чисельник та знаменник перетворюються в нуль. Знаменник містить ірраціональний вираз . Домножимо чисельник та знаменник на – вираз, спряжений до виразу, який стоїть у знаменнику. Тоді при отримаємо

Таким чином, .

Приклад 4. (Задача 2.1(б)) Знайдемо .

Розв’язання.

Покладемо (показник степеня вибрано так, щоб можна було добути корінь і другого, і третього степенів), причому, коли . Тоді маємо:

Приклад 5. (Задача2.1(б)) Знайдемо .

Розв’язання.

При маємо невизначеність . Для уникнення цього перетворимо функцію:

В результаті маємо:

.

Приклад 6. (Задача 2.1 (в)) Обчислимо .

Розв’язання.

Так як при тобто функція є нескінченно малою, то за таблицею (2.5) , при , тому:

.

Зокрема, , а при маємо .

Аналогічно, .

Приклад 7. (Задача 2.1(в)) Знайдемо .

Розв’язання.

Оскільки , тоді, використовуючи теорему про границю добутку функцій та результати попереднього прикладу, маємо:

.

Приклад 8. (Задача 2.1(в)) Обчислимо .

Розв’язання.

При маємо невизначеність . Для обчислення границі функції перейдемо до нової змінної , (, коли ):

.

Оскільки , тому, застосовуючи формулу , знаходимо:

Приклад 9. (Задача 2.2. Витрати, доход та прибуток) Економічним підрозділом заводу встановлено, що при виробництві одиниць продукції щоквартальні витрати виражаються формулою

(гривень),

а доход , одержаний від продажу одиниць цієї продукції, виражається формулою

(гривень).

Кожного кварталу завод виробляє 3100 одиниць продукції , але бажає збільшити випуск цієї продукції до 3200 одиниць. Обчислити приріст витрат, доходу та прибутку. Знайти середню величину приросту прибутку на одиницю приросту продукції.

Розв’язання.

Запланований приріст продукції буде

(одиниць продукції ).

Приріст витрат

Приріст доходу

Позначимо прибуток . Тоді

.

Приріст прибутку буде

Отже, прибуток зменшиться на 300 гривень.

Середня величина приросту на одиницю приросту продукції буде

.

Отже, кожна одиниця додаткової продукції зменшує прибуток
на три гривні.

Приклад 10. (Задача 2.3. Зміна кількості населення) Зміна кількості населення деякого міста за час , що вимірюється роками, здійснюється за формулою

.

Визначити середню швидкість зростання населення в період між часом та .

Розв’язання.

Середню швидкість зростання населення міста за час знайдемо по формулі

.

В цьому випадку: .

Середня швидкість зростання населення міста в цей період буде

Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 703; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!