Кинематика плоскопараллельного движения твердого тела

Плоскопараллельным (плоским) движением твердого тела называется такое движение, при котором траектории всех его точек лежат в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Пусть тело движется параллельно некоторой неподвижной плоскости П (рис. 23). Если пересечь данное тело плоскостью х О у, параллельной неподвижной плоскости П, то в сечении получится какая-то плоская фигура S. Эта фигура будет перемещаться при движении тела, оставаясь все время в той же плоскости х О у. Очевидно, что при таком движении тела все его точки, лежащие на перпендикуляре А а к плоскости фигуры, движутся совершенно одинаково, так же как и точка А этой фигуры. Все точки, расположенные на перпендикуляре В в к плоскости фигуры, движутся так же, как и точка В этой фигуры, и т. д. Отсюда следует, что для определения плоского движения тела достаточно знать движение плоской фигуры в ее плоскости.

Положение неизменяемой плоской фигуры S в ее плоскости вполне определяется положением двух произвольных ее точек А и В. Следовательно, изучение движения плоской фигуры в ее плоскости сводится к изучению движения прямолинейного отрезка АВ, с которым фигура неизменно связана. Но положение отрезка АВ определяется двумя координатами х _А и у _А точки А, называемой полюсом и углом j, который образует этот отрезок с некоторой осью неизменного направления, лежащей в плоскости данной фигуры (рис. 24).

Рис. 23

Рис. 24

Таким образом, движение плоской фигуры в ее плоскости можно определить следующими тремя уравнениями:

x _A = х _A (t),

y _A = y _A (t),

j = j (t).

Из этих уравнений следует, что движение плоской фигуры можно разложить на два движения: 1) поступательное движение вместе с полюсом А и определяемое первыми двумя уравнениями и 2) вращательное движение вокруг полюса, определяемое третьим уравнением. При этом угловая скорость вращательного движения не зависит от выбора полюса. Очевидно, что скорость любой точки В плоской фигуры равна геометрической сумме двух скоростей: скорости полюса и скорости точки В во вращательном движении вокруг полюса (рис. 25), т. е.

= + ,

причем ^ АВ и = w×АВ.

Отсюда следует теорема о проекциях скоростей точек плоской фигуры: проекции скоростей двух точек плоской фигуры на ось h, проходящую через эти точки, равны между собой.

Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется такая точка Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю.

Если известны скорость какой-либо точки А плоской фигуры и угловая скорость w этой фигуры, то, повернув вектор вокруг точки А на 90° в направлении вращения фигуры и отложив на этой полупрямой отрезок

АР = /w,

получим точку Р, которая является МЦС (рис. 25).

Рис. 25

Если же известны направления скоростей двух точек плоской фигуры, то МЦС находят как точку пересечения перпендикуляров, восстановленных в этих точках к направлениям их скоростей.

Если мгновенный центр скоростей Р найден и если известна угловая скорость фигуры, то скорость любой точки В фигуры определяется как скорость этой точки во вращательном движении вокруг МЦС, т. е. вектор перпендикулярен к отрезку РВ и по модулю равен w×РВ. Отсюда следует, что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей, т. е.

Отметим другие случаи нахождения положения МЦС.

Если скорости точек А и В параллельны и АВ ^ , то для определения положения МЦС следует воспользоваться свойством пропорциональности скоростей расстояниям точек до мгновенного центра скоростей. На рис. 26, а, б представлено, как находится МЦС в этих случаях.

На рис. 26, в показан случай, когда и параллельны, но неперпендикулярна отрезку АВ. Очевидно, что в этом случае прямые А а и В в, перпендикулярные и , пересекаются в бесконечности и мгновенного центра скоростей не существует, а угловая скорость фигуры равна нулю (w = 0). На основании теоремы о проекциях скоростей имеем V_A×cos a = V_B×cos a, отсюда V_A = V_B и = . Значит, в данный момент времени скорости всех точек плоской фигуры равны по модулю и направлению.

Рис. 26

При качении без скольжения одного тела по поверхности неподвижного другого (рис. 26, г) МЦС совпадает с точкой Р соприкосновения тел (так как при отсутствии скольжения скорость точки соприкосновения равна нулю).

Ускорение любой точки движущейся плоской фигуры можно определить как геометрическую сумму ускорений этой точки в поступательном движении вместе с некоторым полюсом и вращательным движением вокруг этого полюса.

Если известны ускорение некоторой точки А фигуры (ускорение полюса), а также угловая скорость w и угловое ускорение e фигуры, то ускорение любой ее точки В определяется по формуле

= + = + + .

Здесь вектор - ускорение точки В во вращательном движении вокруг полюса А; и - нормальная и касательная составляющие этого вектора, которые вычисляем по формулам:

= w² × АВ, = e × АВ.

При этом вектор направлен вдоль ВА (от точки В к точке А), а вектор перпендикулярен к ВА (рис. 27).

Рис. 27

Ускорение точки В можно определить, если спроецировать векторное равенство

= + +

на оси х и у (см. рис. 27) и найти проекции этого ускорения:

= – , = + .

По проекциям находят модуль ускорения точки В:

Задача К2

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е(рис. К2.0–К2.7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис. К2.8, К2.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами O₁, О₂ шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно l ₁ = 0,4 м, l ₂ = 1,2 м, l ₃ = 1,4 м, l ₄ = 0,6 м. Положение механизма определяется углами a, b, g, j, q. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К2а (для рис. К2.0–К2.4) или в табл. К2б (для рис. К2.5–К2.9); при этом в табл. К2а заданные w₁ или w₄ – величины постоянные.

Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти».

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол g на рис. К2.8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. К2.9 – против хода часовой стрелки и т. д.).

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом a; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К2 (см. рис. К2б).

Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против часовой стрелки, а заданные скорость и ускорение – от точки В к b (на рис. К2.5–К2.9).

Таблица К2а (к рис. К2.0–К2.4)

Таблица К2б (к рис. К2.5–К2.9)

Рис. К2.0 Рис. К2.1

Рис. К2.2 Рис. К2.3

Рис. К2.4 Рис. К2.5

Рис. К2.6 Рис. К2.7

Рис. К2.8 Рис. К2.9

Указания. Задача К2 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звенумеханизма в отдельности.

При определении ускорений точек механизма исходить из векторного равенства = + + , где А – точка, ускорение которой или задано, или непосредственно определяется по условиям задачи (если точка А движется по дуге окружности, то = + ); В – точка, ускорение которой нужно определить (о случае, когда точка В тоже движется по дуге окружности, см. примечание в конце рассмотренного ниже примера К2).

Пример К2. Механизм (рис. К2а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами O₁ и О₂ шарнирами.

Рис. К2а Рис. К2б

Дано: a = 60°, b = 150°, g = 90°, j = 30°, q = 30°, AD = DB, l ₁ = 0,4 м, l ₂= 1,2 м, l ₃ = 1,4 м, w₁ = 2 c^–1, e₁ = 7 с^–2 (направления w₁ и e₁ – против хода часовой стрелки). Определить: V_B, V_E, w₂, a _B, e₃.

Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К2б; на этом рисунке изображаем все векторы скоростей).

2. Определяем V_B. Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти V_B, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление . По данным задачи, учитывая направление w₁, можем определить ; численно

V_A = w₁× l ₁ = 0,8 м/с; ^ О₁А. (45)

Направление найдем, учтя, что точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление , используем теорему о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим:

V_В × cos 30° = V_A × cos 60° и V_В = 0,46 м/с. (46)

3. Рассчитываем . Точка Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АВ. Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ; это точка С₃, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восставленных из точек А и В (к перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора определяем направление поворота стержня АВ вокруг МЦС С₃. Вектор перпендикулярен к отрезку С₃D, соединяющему точки D и С₃, и направлен в сторону поворота. Величину V_D найдем из пропорции

(47)

Чтобы вычислить С₃D и С₃B, заметим, что DAС₃В – прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что С₃В = AB × sin 30° = 0,5 × AB = ВD. Тогда DВС₃D является равносторонним и С₃B = С₃D. В результате равенство (47) дает:

V_D = V_B = 0,46 м/с; ^ C₃D. (48)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню O₂E, вращающемуся вокруг O₂, то ^ O₂E, тогда, проведя из точек Е и Dперпендикуляры к скоростям и , построим МЦС С₂ стержня DE. По направлению вектора определяем направление поворота стержня DE вокруг центра С₂. Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К2б видно, что ÐC₂ED = ÐC₂DE = 30°, откуда C₂E = C₂D. Составив теперь пропорцию, найдем, что

V_E = V_D = 0,46 м/с. (49)

4. Определяем w₂. Так как МЦС стержня 2 известен (точка С₂) и С₂D = l ₂/(2 × cos 30°) = 0,69 м, то

c^–1. (50)

5. Определяем (рис. К2в, на котором изображены все векторы ускорений). Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти , надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию точки В. По данным задачи можем определить = + , где численно

= e₁ × l ₁ = 2,8 м/с²;

(51)

= × l ₁ = 1,6 м/с².

Рис. К2в

Вектор направлен вдоль AO₁, а – перпендикулярно к AO₁; изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. К2в). Так как точка В одновременно принадлежит ползуну, то вектор параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и .

Для определения воспользуемся равенством

= + + + . (52)

Изображаем на чертеже векторы (вдоль ВА от В к А) и (в любую сторону перпендикулярно к ВА); численно = w₃² × l ₃. Находим w₃ с помощью МЦС C₃ стержня 3:

c^–1 и = 0,61 м/с². (53)

Таким образом, у величин, входящих в равенство (52), неизвестны только числовые значения а _В и ; их можно найти, спроектировав обе части равенства (52) на какие-нибудь две взаимно перпендикулярные оси.

Чтобы определить а _В, спроектируем обе части равенства (52) на направление ВА (ось х), перпендикулярное к неизвестному вектору . Тогда получим:

а _В× сos 30° = × cos 60° – × cos 30° + . (54)

Подставив в равенство (54) числовые значения всех величин из (51) и (53), найдем, что

а _В = 0,72 м/с². (55)

Так как получилось а _В > 0, то, следовательно, вектор направлен как показано на рис. К2в.

6. Находим e₃. Чтобы найти e₃, сначала вычислим . Для этого обе части равенства (52) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у). Тогда получим:

– а _В× sin 30° = × sin 60° + × sin 30° + . (56)

Подставив в равенство (56) числовые значения всех величин из (55) и (51), найдем, что = – 3,58 м/с². Знак указывает, что направление противоположно показанному на рис. К2в. Теперь из равенства = e₃ × l ₃ получим:

c^–2.

Ответ: V_B = 0,46 м/с; V_E = 0,46 м/с;

w₂ = 0,67 с¹; а _B = 0,72 м/с²; e₃ = 2,56 с^–2.

Примечание 1. Если точка B, ускорение которой определяется, движется не прямолинейно (например, как на рис. К2.0–К2.4, где В движется по окружности радиуса О₂В), то направление заранее неизвестно.

В этом случае также следует представить двумя составляющими ( = + ) и исходное уравнение (52) примет вид

+ = + + + . (57)

При этом вектор (см., например, рис. К2.0) будет направлен вдоль BO₂, а вектор – перпендикулярно ВО₂ в любую сторону. Числовые значения , и определяются так же, как в рассмотренном примере (в частности, по условиям задачи может быть = 0 или = 0, если точка А движется прямолинейно).

Значение вычисляется по формуле = /r = / l, где l – радиус окружности О₂В, а определяется так же, как скорость любой другой точки механизма.

После этого в равенстве (57) остаются неизвестными только значения и и они, как и в рассмотренном примере, находятся проецированием обеих частей равенства (57) на две взаимно-перпендикулярные оси.

Найдя , можем вычислить искомое ускорение . Величина служит для нахождения e_АВ (как в рассмотренном примере).

Примечание 2. Если требуется определить ускорение точки D звена АВ (рис. К2г), то следует воспользоваться векторным равенством:

= + + + .

Рис. К2г

Ускорение точки D найдем по его проекциям на координатные оси, спроецировав приведенное выше векторное равенство на эти оси:

= × cos 60° – × cos 30° + ,

= × sin 60° + × sin 30° + .

Здесь = w₃²×AD, = e₃×AD.

Вектор направлен от точки D к точке А, а вектор перпендикулярен к DА.

Вопросы для самоконтроля

1. Какое движение твердого тела называется плоскопараллельным?

2. Какими уравнениями задается плоскопараллельное движение?

3. Как по уравнениям движения плоской фигуры найти скорость полюса и угловую скорость вращения вокруг полюса?

4. Как определить скорость любой точки плоской фигуры?

5. Сформулируйте теорему о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры.

6. Что называется мгновенным центром скоростей плоской фигуры и как найти положение МЦС в различных случаях?

7. Сформулируйте теорему об ускорениях точек плоской фигуры.

Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 2242; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!