Пример: оптимальная замена производственного оборудования

Постановка задачи. К началу пятилетки на предприятии установлено новое оборудование. В начале каждого года принимаются решения о продлении срока работы оборудования еще на год или о замене оборудования на новое.

Таблица 6

Известны производительность оборудования в зависимости от возраста оборудования (объём выпускаемой на нем продукции в единицу времени), затраты на содержание и ремонт, ликвидная стоимость оборудования, затраты на приобретение и установку нового оборудования. Эти данные содержатся в табл. 6.

Составить оптимальный план замены оборудования в течение пятилетки, при котором общая прибыль предприятия за данный период окажется максимальной.

Формализация задачи. Рассмотрим оптимальную замену оборудования как дискретную задачу оптимального управления. Введем в рассмотрение ОУ, под которым будем понимать производственное оборудование.

В качестве управляющих воздействий будем рассматривать решения о сохранении или замене оборудования. Управляющее воздействие в каждый момент времени выбирается из двух значений: , если принимается решение о сохранении оборудования, или , если принимается решение о замене оборудования. В качестве выходного сигнала ОУ примем возраст оборудования. Решение задачи целесообразно рассматривать с помощью временной оси (рис. 18).

...

Рис. 18

Поведение ОУ описывается разностным уравнением

.

Поясним это уравнение. Если в момент времени принимается решение о сохранении оборудования, то возраст оборудования к моменту времени увеличится на 1 год. Если же принимается решение о замене оборудования на новое, то возраст оборудования к моменту времени составит 1 год. Так как разностное уравнение имеет первый порядок, то состояние ОУ полностью характеризуется выходным сигналом, и нет необходимости в переменных состояния.

Составим показатель качества, представляющий собой суммарную прибыль предприятия за пятилетний период,

.

Здесь величины представляют ежегодную прибыль от использования оборудования в производственных целях. Они формируются следующим образом:

.

Здесь - производительность оборудования, - затраты на содержание и ремонт, - стоимость замены оборудования, - ликвидная стоимость оборудования (при условии его продажи). Все эти показатели зависят от возраста оборудования .

Решение задачи. Решение задачи состоит из этапов попятного и прямого движения.

1. Этап попятного движения. Это многошаговый процесс, который протекает от конца интервала управления к его началу. Рассмотрим показатель качества в развернутом виде:

.

Шаг 1. Отступим на один шаг от конца интервала управления и найдем управляющее воздействие , от которого зависит только последнее слагаемое в показателе качества . Образуем на его основе вспомогательный показатель качества

.

Максимизацию показателя можно провести только методом перебора, так как все зависимости заданы табличным способом. Перебору подлежат состояние объекта и управляющее воздействие . Состояние для этого момента времени может иметь значения от 1 года до 4 лет; управление может принимать два значения: или .

Так, например, , т.е. к началу последнего года пятилетки оборудование находится в возрасте 1 год (оборудование было заменено год назад). Вычислим показатель качества для и допустимых управлений:

Максимальное значение показателя достигается при управлении ; эти значения занесем в первую строку табл. 7. Максимальное значение показателя обозначено через . Таким же образом вычисляются оптимальные управления для других состояний ОУ. Результаты максимизации показателя качества приведены в табл. 7.

Таблица 7 (для момента t₄) Таблица 8 (для момента t₃)

	u(c)			u(c)
	u(c)			u(з)
	u(c)			u(з)
	u(c)

Шаг 2. Отступим на два шага от конца интервала управления и найдем управляющие воздействия и , от которых зависят два последних слагаемых в показателе качества I. На их основе образуем вспомогательный показатель качества

.

От управления u₄ здесь зависит только последнее слагаемое, минимизация которого была проведена на предыдущем шаге. Заменим последнее слагаемое его максимальным значением , а состояние ОУ представим с помощью разностного уравнения как

Тогда вспомогательный показатель

.

Максимизацию показателя по-прежнему проведем методом перебора. Перебору подлежат состояние объекта и управляющее воздействие . Состояние для этого момента времени может иметь значения от 1 года до 3 лет; управление может принимать два значения: или .

Результаты максимизации показателя сведены в табл. 8. В качестве примера заполним первую строку таблицы. Она соответствует состоянию ОУ . Вычислим показатель для этого состояния и допустимых управлений:

Максимальное значение показателя достигается при управлении ; занесем эти результаты в первую строку табл. 8. Таким же образом вычисляются оптимальные управления для других состояний ОУ.

Шаг 3. Отступим на три шага от конца интервала управления и найдем управляющие воздействия , и . От них зависят три последних слагаемых в показателе качества I, на основе которых образуем вспомогательный показатель

.

Два последних слагаемых, максимизация которых была проведена на предыдущем шаге, заменим их максимальным значением , т.е.

,

а состояние ОУ представим с помощью разностного уравнения как

Функция

.

Максимизацию показателя проведем методом перебора. Перебору подлежат состояние объекта и управляющее воздействие . Состояние для этого момента времени может иметь значения от 1 года до 2 лет; управление может принимать два значения: или .

Результаты максимизации показателя сведены в табл. 9. Этим результатам предшествовали следующие вычисления.

Рассмотрим состояние ОУ . Вычислим показатель для допустимых управлений:

Максимальное значение показателя достигается при управлении ; занесем эти результаты в первую строку табл. 9. Таким же образом вычисляется оптимальное управление для состояния .

Таблица 9 (для момента t₂) Таблица 10 (для момента t₁)

	u(c)
	u(з)

	u(c)

Шаг 4. Отступим на четыре шага от конца интервала управления и найдем управляющие воздействия , , и . От них зависят четыре последние слагаемые в показателе качества I, на основе которых образуем вспомогательный показатель

. .

Три последних слагаемых, максимизация которых была проведена на предыдущем шаге, заменим их максимальным значением , т.е.

,

а состояние ОУ представим с помощью разностного уравнения как

Функция

.

Состояние для этого момента времени может иметь только одно значение: ; управление может принимать два значения: или . Вычислим показатель для допустимых управлений:

Максимальное значение показателя достигается при управлении ; занесем эти результаты в табл. 10.

Шаг 5. Отступим на последний шаг и перейдем к начальному моменту времени . Рассмотрим исходный показатель качества

.

От управляющих воздействий , , и зависят четыре последние слагаемые, максимизация которых проведена на предыдущем шаге. Заменим эти слагаемые их максимальным значением . Получим

.

Состояние ОУ представим с помощью разностного уравнения в виде

Раскроем функцию :

.

По условиям задачи к началу пятилетки на предприятии установлено новое оборудование, т.е. y ₀ =0. Поэтому рассматривается только управляющее воздействие . Показатель качества примет значение

.

Таким образом, максимальная прибыль от использования оборудования составит 270 ед., хотя оптимальный план замены оборудования еще не найден.

На этом этап попятного движения закончен. Приступим к следующему этапу решения задачи.

2. Движение в прямом направлении. Это второй этап решения задачи, на котором находятся оптимальные управления на каждом шаге. Его удобно рассмотреть с использованием временной оси (рис. 19).

Оптимальное управление для момента времени найдено на последнем шаге попятного движения: . Под влиянием этого управления ОУ переходит к моменту времени в состояние . Из табл. 10 извлекаем оптимальное управление . К моменту времени ОУ переходит в состояние . Из табл. 9 извлекаем оптимальное управление и т.д.

Найдем максимальную общую прибыль предприятия за пятилетку с целью проверки результата, полученного на последнем шаге попятного движения:

Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 865; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!