Общее уравнение плоскости

ТОЧКУ КОМПЛАНАРНО ДВУМ НЕКОЛЛИНЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ

Теорема. В декартовой прямоугольной системе координат x, y, z уравнение плоскости P, проходящей через точку , компланарной двум неколлинеарным векторам и , имеет вид

(3.1)

Доказательство. Пусть – произвольная точка пространства. Точка лежит на плоскости Р тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны. Необходимое и достаточное условие компланарности этих векторов имеет вид (кн.2, гл.6, §3, п.3.2):

.

Покажем, что алгебраической поверхностью первого порядка является плоскость. Для этого докажем следующие теоремы.

Теорема 1. Плоскость в прямоугольной декартовой системе координат определяется общим уравнением первой степени относительно текущих координат.

Доказательство. Фиксируем на плоскости Р произвольную точку и возьмем два неколлинеарных вектора и , каждый из которых коллинеарен плоскости Р. Тогда на основании предыдущего параграфа уравнение плоскости Р можно записать в виде (3.1) или

. (3.2)

Так как векторы и неколлинеарны, то по крайней мере один из определителей

не равен нулю. Действительно, при равенстве нулю всех определителей имело бы место соотношение

,

а это означало бы, что векторы коллинеарны. Следовательно, уравнение (3.2) – уравнение первой степени относительно x, y, z. Если еще положить

,

то уравнение (3.2) примет вид

. (3.3)

Уравнение (3.3) называется общим уравнением плоскости.

Теорема 2 (обратная). Общее уравнение первой степени

(3.4)

в прямоугольной декартовой системе координат x, y, z. Является уравнением плоскости.

Доказательство. Пусть x ₀, y ₀, z ₀ – какое-нибудь решение данного уравнения, т.е.

. (3.5)

Уравнение (3.4) будет эквивалентно уравнению, которое мы получим, вычитая почленно из уравнения (3.4) равенство (3.5):

. (3.6)

Одно из чисел не равно нулю; пусть, например, , тогда уравнение (3.6) эквивалентно уравнению

. (3.7)

В самом деле, последнее уравнение после раскрытия определителя примет вид

,

или (так как )

.

Далее, векторы и неколлинеарны, поскольку один из определителей

не равен нулю (в силу условия не равен нулю первый определитель). Поэтому уравнение (3.7), а значит и данное уравнение (3.4) определяет (на основании предыдущей теоремы) плоскость, проходящую через точку компланарно двум не коллинеарным векторам (в случае ):

и .

Аналогично доказывается, что данная плоскость (в случае ) компланарна векторам и , неколлинеарным между собой, а в случае – векторам и , которые также неколлинеарны.

Таким образом, каждая плоскость есть поверхность первого порядка, и, наоборот, каждая поверхность первого порядка есть плоскость.