Нехай область обмежена кривою , яка складається з відрізків прямих , кривих , ,
Рис. 10.3
причому виконується нерівність (рис.10.3). Така область називається елементарною відносно осі.
Аналогічно означається елементарна область відносно осі (рис.10.4):
Рис. 10.4
Рис. 10.5
Якщо область елементарна відносно кожної осі, то вона називається елементарною відносно осей і (рис.10.5).
Теорема 10.1 (формула Гріна–Остроградського).Нехай - елементарна область відносно осей і , її межа є кусково–гладкою кривою, функції і неперервні разом з своїми частинними похідними і в замкненій області . Тоді має місце рівність
(10.1)
Рис. 10.6
Доведення. Обчислимо спочатку (область елементарна відносно осі ) (рис.10.6) подвійний інтеграл:
=[формула Ньютона-Лейбніца]=
[обчислюємо КІ другого роду]= [використовуємо властивість криволінійного інтегралу другого роду, , ]=
.
Рис. 10.7
B1
B4
B2
B3
Аналогічно, оскільки область елементарна відносно осі (рис.10.7), то подвійний інтеграл . Дійсно,
Додаючи обидві формули, і отримаємо формулу (10.1). ■
Формулу Гріна можна узагальнити і на той випадок, коли область можна розбити на області , , які задовольняють теоремі 10.1, і на багатозв’язні області (рис.10.8 – 10.9).
Рис. 10.8
Рис. 10.9
Означення 10.2.Область називається однозв’язною, якщо для довільної замкненої простої кривої або кривої Жордана, яка належить області , внутрішність також належить . Неоднозв’язні області називаються багатозв’язними (рис.10.10).
Однозв’язність області означає, що область не має "дірок".
studopediasu.com - Студопедия (2013 - 2026) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление
обмежена кривою 
, яка складається з відрізків прямих 
, кривих 
, 
,
виконується нерівність 
(рис.10.3). Така область називається елементарною відносно осі 
.
(рис.10.4):
і 
(рис.10.5).
- елементарна область відносно осей 
і 
неперервні разом з своїми частинними похідними 
і 
в замкненій області 
. Тоді має місце рівність
(10.1)
елементарна відносно осі 
[обчислюємо КІ другого роду]= 
[використовуємо властивість криволінійного інтегралу другого роду, 
, 
]=
.
елементарна відносно осі 
(рис.10.7), то подвійний інтеграл 
. Дійсно,
можна розбити на області 
, 
, які задовольняють теоремі 10.1, і на багатозв’язні області (рис.10.8 – 10.9).
називається однозв’язною, якщо для довільної замкненої простої кривої 
або кривої Жордана, яка належить області 
також належить