Теоретичні засади моделювання ряду динаміки

РОЗДІЛ 5. Моделювання динаміки економічних процесів

Зміни, які відбуваються в економічних системах, можуть подаватися у вигляді розташованих у хронологічній послідовності значень економічних показників, тобто за допомогою динамічних рядів (рядів динаміки).

Ряд динаміки під час статистичного моделювання прийнято розглядати як вибірку спостережень за випадковою величиною у послідовні моменти часу, тобто як одну із реалізацій випадкового процесу Y(t). Під випадковим процесом Y(t) розуміють функцію з невипадковим аргументом t, яка за довільного значення t є випадковою величиною. Послідовність спостережень , ,..., за випадковим процесом Y(t) у статистиці називають реалізацією випадкового процесу або рядом динаміки. Основними характеристиками випадкових процесів слугують невипадкові функції (числові характеристики), які за кожного значення t відповідають реалізаціям випадкового процесу: математичне сподівання, дисперсія та автокореляційні функції. На відміну від елементів просторової випадкової вибірки, рівні ряду динаміки, як правило, не є статистично незалежними і однаково розподіленими.

Для отримання надійних результатів моделювання необхідна повна і достовірна інформація про рівні динамічного ряду. Динамічний ряд об’єктивно відображає тенденцію розвитку економічного процесу лише за умови порівнюваності його рівнів. Основними вимогами щодо зіставлення динамічних рядів вважають такі:

• рівність періодів, до яких належать статистичні показники;

• однакова повнота охоплення досліджуваних частин явища;

• збіг територіальних меж явища;

• співвимірність рівнів ряду (однаковий масштаб вимірювання);

• єдине тлумачення одиниці об’єкта спостереження.

Окремі рівні динамічних рядів можуть набувати аномальних значень (істотно відмінних від інших), поява яких зумовлюється причинами технічного характеру або різкими змінами у ході економічного процесу (наприклад, різкий стрибок курсу валют). Виявити аномальні рівні динамічного ряду можна за допомогою методу Ірвіна, який передбачає розрахунок таких статистичних характеристик:

, (t = ), (5.1)

де - середньоквадратичне відхилення динамічного ряду.

Розрахункові значення порівнюють із критичними (табл.5.1). Якщо розрахункове значення перевищує критичне, то відповідний рівень ряду динаміки слід вважати аномальним.

Таблиця 5.1

Значення критерію Ірвіна ()

n
	1,5	1,3	1,2	1,1	1,0

Після виявлення аномальних рівнів необхідно проаналізувати причини їхнього виникнення. Якщо аномальні значення викликані причинами технічного характеру, то вони переважно усуваються або заміною аномальних рівнів апроксимованими значеннями, або заміною рівнів середньою арифметичною двох сусідніх рівнів. Аномальні значення, викликані дією факторів, що мають об’єктивний характер, змінювати не рекомендують.

Загалом значення рівня ряду динаміки складається з таких компонент:

• основна тенденція (або тренд)f(t), що є результатом впливу комплексу факторів, які постійно діють на процес впродовж тривалого періоду;

• сезонні коливання , що є результатом впливу сезонного характеру розвитку досліджуваного явища (наприклад, вплив погодних умов на виробництво сільськогосподарської продукції, на обсяг реалізації певних видів товарів тощо);

• періодичні коливання , пов’язані з демографічними процесами, технічними проблемами переозброєння виробництва;

• випадкові коливання , що є результатом впливу випадкових факторів.

Трендову, сезонну і періодичну компоненти називають регулярними, або систематичними, компонентами динамічного ряду. На відміну від , вони є закономірними, невипадковими складовими рівня динамічного ряду.

Якщо ряд динаміки представляється як сума складових компонент, то модель називають адитивною, якщо у вигляді добутку, - то модель називають мультиплікативною:

- адитивна форма ;

- мультиплікативна форма ;

- змішана форма .

Характер зв’язку між компонентами ряду динаміки можна визначити за зміною абсолютних або відносних відхилень фактичних рівнів від тренду. Якщо абсолютним відхиленням притаманна тенденція до зростання, а відносні змінюються приблизно на однакову величину, то вважають, що існує мультиплікативний зв’язок між f(t) і S_t.

Іншим практичним правилом для встановлення характеру зв’язку між компонентами ряду динаміки є таке: у разі нормального розподілу абсолютних відхилень фактичних рівнів від тренду зв’язок вважають адитивним, а у разі нормальності відносних відхилень – мультиплікативним.

Приведені вище умовні конструкції дають змогу вивчати тренд, елімінуючи коливання, або вивчати коливання, елімінуючи тренд.

Тренд, який задає загальний напрямок розвитку явища, подають у вигляді гладкої кривої (траєкторії), що є функцією від часу. Передбачається, що вплив усіх основних факторів на досліджуване явище можна виразити через функцію часу. У зв’язку з цим під трендом часто розуміють рівняння регресії.

У загальнішому і зручнішому для практичних досліджень розумінні тренд – детермінована складова динаміки розвитку, яка визначається впливом постійно діючих факторів, а відхилення від тренду – випадкова компонента, яка визначається впливом випадкових і неврахованих факторів. З урахуванням цього рівень динамічного ряду можна встановити за функцією:

, (5.2)

де F(t) – систематична складова, що описує основну тенденцію розвитку явища у часі;

– випадкова складова.

У рядах динаміки можна досліджувати тенденції трьох видів:

• тенденцію середнього рівня (основну тенденцію) – зміну середніх значень ряду динаміки;

• тенденцію дисперсії – зміну відхилень емпіричних значень рівнів динамічного ряду від обчислених за рівнянням тренду.

• тенденцію автокореляції – зміну зв’язків між окремими рівнями динамічного ряду;

Найпростіший метод перевірки гіпотези про існування основної тенденції у ряді динаміки ґрунтується на порівнянні середніх рівнів. Для цього ряд динаміки розділяють на дві приблизно рівні за кількістю членів частини. Кожна частина розглядається як самостійна нормально розподілена вибірка. Якщо розбіжність між середніми двох сукупностей є незначною, неістотною (випадковою), то можна говорити про відсутність тенденції у динамічному ряді, у протилежному випадку – простежується наявність тренду. Тому перевірка наявності основної тенденції зводиться до перевірки гіпотези про рівність середніх двох нормально розподілених сукупностей.

Приймемо позначення:

– обсяг першої частини сукупності;

– середнє значення першої частини сукупності;

– обсяг другої частини сукупності;

– середнє значення другої частини сукупності.

Для перевірки гіпотези про рівність середніх рівнів розраховують статистику:

, (5.3)

де – оцінка дисперсії, утворена з оцінок дисперсії першої групи і дисперсії другої групи за такою формулою:

; (5.4)

; (5.5)

. (5.6)

З таблиці розподілу Стьюдента для вибраного рівня значущості і ступенів вільності знаходять критичне значення і порівнюють з розрахованою t-статистикою . Якщо < , то немає потреби відхиляти нульову гіпотезу Н_о про рівність середніх, тобто розходження між ними можна вважати неістотним, що свідчить про відсутність тренду у динамічному ряді.

Приклад 5.1. Задано динамічний ряд:

Рівень ряду
Значення рівня	11,5	15,4	18,0	15,0	10,0	15,1	16,0	15,5	14,0	14,4

Рівень ряду
Значення рівня	11,7	17,6	12,1	13,	19,2	19,8	14,5	15,4

Перевірити гіпотезу про існування тенденції у динамічному ряді.

Результати проміжних розрахунків представлено у табл.5.2.

Таблиця 5.2.

11,5		14,4
15,4	0,81	11,7	13,69
18,0	12,25	17,6	4,84
15,0	0,25	12,1	10,89
10,0	20,25	13,9	2,25
15,1	0,36	19,2	14,44
16,0	2,25	19,8	19,36
15,5		14,5	0,81
14,0	0,25	15,4

Формулюємо гіпотезу: основна тенденція у ряді динаміки відсутня ().

Знаходимо: ; ; .

Тоді

.

З таблиць розподілу Стьюдента для рівня значущості і V=16 ступенів вільності отримаємо таке значення: .

Оскільки < , то нема підстав відхиляти нульову гіпотезу, і можна зробити висновок про відсутність основної тенденції у ряді динаміки.

Розглянутий вище метод встановлення наявності основної тенденції дає надійні результати, коли ряд динаміки має монотонну тенденцію. Якщо ж ряду динаміки притаманна тенденція зміни загального напрямку розвитку, то перевірка гіпотези може не виявити наявності основної тенденції динаміки (точка згину наближена до середини ряду і, як наслідок, середні значення рівнів для обох частин близькі між собою).

Надійнішим способом перевірки наявності тенденції у динамічному ряді є застосування методу Фостера-Стюарта, який ґрунтується на послідовному порівнянні рівнів динаміки, тобто обчисленні величин:

(5.7)

(5.8)

; (5.9)

; (5.10)

; (5.11)

. (5.12)

Величини М і К мають незалежні асиматотично нормальні розподіли, проте на них впливає порядок розміщення рівнів ряду динаміки в часі. Їх можна використати для перевірки гіпотез про існування тенденцій зміни в середній і дисперсії. Показник К використовують для виявлення тенденції середніх значень, а М – для виявлення тенденції зміни дисперсії. Гіпотези перевіряються на підставі t-критерію відповідно за допомогою випадкових величин:

; (5.13)

; (5.14)

де – математичне сподівання М;

– середньоквадратичне відхилення М;

– середньоквадратичне відхилення К.

Значення , , протабульовані для різних значень n (табл.5.3), а і мають розподіл Стьюдента з ступенями вільності і порівнюються з табличними значеннями для вибраного рівня значущості . Якщо розрахункові значення перевищують критичні, то гіпотеза про відсутність тенденції відхиляється.

Таблиця 5.3

Протабульовані значення , та

n
	3,858	1,288	1,964
	4,636	1,521	2,158
	5,195	1,677	2,279
	5,632	1,791	2,373
	5,990	1,882	2,447
	6,294	1,956	2,509
	6,557	2,019	2,561
	6,790	2,072	2,606
	6,998	2,121	2,645

Приклад 5.2. Встановити наявність тенденції у ряді динаміки за такими даними:

Рівень ряду

Значення рівня

Результати проміжних розрахунків за методом Фостера-Стюарта наведено в табл.5.4.

Таблиця 5.4

Період, t				Період, t
				-	-	-	-

На підставі значень табл.5.4 отримуємо: М = К = 11.

Значення , , протабульовані:

= 4,636;

= 1,521;

= 2,153.

Розраховуємо:

;

.

З таблиць розподілу Стьюдента знаходимо (; ): . Оскільки розраховані значення перевищують критичні, то необхідно прийняти гіпотезу про наявність тенденції у середній і дисперсії.

Ще одним методом виявлення основної тенденції є кумулятивний метод. В його основу покладена статистика, яка обчислюється за такою формулою:

, (5.15)

де

;

.

У разі достатньої кількості спостережень можна використати нормовані відхилення

. (5.16)

Значення Т і t порівнюють з критичними для вибраного рівня істотності α (табл.5.5). Якщо розрахункове значення перевищує критичне, то гіпотеза про відсутність тренду відхиляється, у протилежному разі наявність тренду вважається істотною.

Таблиця 5.5

Критичні значення кумулятивного критерію (α=0,05)

Дата добавления: 2014-12-16; Просмотров: 605; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!