Окружность. Окружность- это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра)

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Обозначим эту постоянную через 2а, а- расстояние между фокусами гиперболы. Пусть - произвольная точка гиперболы.

По определению гиперболы имеем:

Числа , называются фокальными радиусами точки .

Каноническое уравнение гиперболы:

(2)

где ,Число а- называется действительной, а число - мнимой полуосями гиперболы.

Ось симметрии на которой находятся фокусы, называется фокальной осью, точка пересечения осей симмет­рии - центром гиперболы;

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Для любой гиперболы величина эксцентриситета опре­деляет форму гиперболы.

Замечание 1. у= ( /а) х и у = - ( / а)х - асимп­тоты гиперболы. Если а = , то такая гипербола на­зывается равносторонней.

Замечание 2. Если мнимая ось гиперболы равна 2а и расположена на оси Оx, а действительная ось равна 2 и расположена на оси Оy, то уравнение такой гиперболы имеет вид:

y/а - x²/ ² = 1 (3).

Гиперболы (2) и (3) называются сопряженными гиперболами.

Пример3. Гипербола проходит через точку (6,-2 ) и имеет мнимую полуось =2.Написать ее уравнение и найти расстояние точки от фокусов.

Решение. Общий вид уравнения гиперболы есть: + =1. Гипербола проходит через точку (6,-2 ) и имеет мнимую полуось =2, следовательно, =3, a = 2 .Следовательно, -уравнение искомой гиперболы. .

и -фокусы данной гиперболы. ,

3. Парабола.

Парабола есть геометрическое место точек, равностоящих от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой называемой директрисой.

Выберем систему координат таким

образом: за ось Оx примем прямую

проходящую через фокус .

Пусть - произвольная точка

лежащая на параболе. Пусть точка

N – основание перпендикуляра

опущенного из М на директрису.

По определению параболы .

Каноническое уравнение параболы:

. (3)

Уравнение директрисы записывается в виде: .

Точка (0.0) – точка пересечения параболы с осью симметрии и называется вершиной параболы.

Пример4. Написать уравнение параболы симметричной относительно оси ОХ и проходящей через точки (0,0) и (2,-4).

Решение. Уравнение параболы симметричной относительно оси ОХ и проходящей через начало координат есть .Точка (2,-4)-лежит на параболе, следовательно,(-4) = , и уравнение параболы имеет вид

Контрольные вопросы.

1.Эллипс.

2. Гипербола.

3. Парабола.

Задания.

1.Написать уравнение окружности с центром и радиусом . Лежат ли на этой окружности точки , , .

2.Построить эллипс . Найти: 1)полуоси, 2)координаты фокусов,3) эксцентриситет.

3.Построить гиперболу . Найти: 1)действительную и мнимую полуоси, 2)координаты фокусов, 3) эксцентриситет, 4) уравнения асимптот.

4.Написать уравнение множества точек, одинаково удаленных от точки и от прямой . Найти точки пересечения этой кривой с осями координат и построить ее.