Теорема Безу

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ АНАЛИЗА И ПРОЕКТИРОВАНИЯ ИС

1. Классификация информационных систем

2. Функциональное назначение модулей корпоративной ИС

3. Классификация рынка информационных систем

4. Основные функции информационной системы уровня менеджмента

5. Типовые архитектуры ИС

6. Основной подход к проектированию ИС на первом этапе

7. Основной подход к проектированию ИС на втором этапе

8. Основные задачи, решению которых должна способствовать методология проектирования корпоративных ИС

9. Взаимосвязанные задачи, определяющие цель проектирования ИС

10. Этапы создания ИС

11. Начальный этап процесса создания ИС

12. Этап проектирования ИС

13. Цели этапа тестирования ИС

14. Краткая характеристика жизненного цикла ИС

15. Основные причины популярности каскадной модели жизненного цикла ИС

16. Методология BSP

17. Основные процессы ЖЦ ПО согласно стандарту ISO/IEC 12207

18. Содержание основных процессов ЖЦ ПО ИС (ISO/IEC 12207)

19. Группы процессов структуры ЖЦ

20. Стадии создания систем (ISO/IEC 15288)

21. Стадии и этапы канонического проектирования ИС

22. Типовое проектирование ИС. Достоинства и недостатки

Теорема. Остаток от деления многочлена на многочлен равен .

Доказательство. Степень остатка меньше 1, следовательно, остаток — константа. Пусть — остаток.

Это равенство верно при любых значениях . Положим :

Пусть - корень многочлена , тогда, по теореме Безу, . Возможны два варианта: 1. Число не является корнем многочлена , в этом случае называется простым корнем многочлена .

2. Число является корнем многочлена , тогда, применяя теорему Безу уже к , получим , . Применяя к те же рассуждения, придём к выводу: если - корень многочлена , то единственным образом представляется в виде , где . Число в этом случае называется кратностью корня .

Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен при имеет хотя бы один корень ; если кратность этого корня равна , то, согласно изложенному, представляется в виде , где . Если , то многочлен имеет корень , и представляется в виде . Если , эти выкладки можно продолжить; окончательный вывод формулируется так: любой многочлен степени

при старшем коэффициенте единственным (с точностью до порядков сомножителей) образом может быть представлен в виде , где - (попарно различные) корни многочлена, - их кратности, - количество различных корней. Общее число корней многочлена с учётом их кратностей равна : .

9.2.2. Многочлены с действительными коэффициентами. В этом разделе мы рассмотрим многочлен от комплексной переменной , в предположении, что его коэффициенты - действительные числа. Сформулируем и докажем ряд свойств такого многочлена.

1.Если - число, сопряжённое к числу , то . Док-во: Для любого действительного числа операция сопряжения не меняет это число: , поэтому

2. Если - корень многочлена , то - тоже корень этого многочлена. Док-во: если , то .

3. Если - корень многочлена с действительными коэффициентами , то без остатка делится на квадратный трёхчлен , где . Док-во: так как числа - корни , то представляется в виде .

4. Если - корень многочлена кратности , то - корень этого многочлена той же кратности. Док-во: непосредственно следует из утверждений 2,3.

5. Любой многочлен -ой степени может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде

, где

- попарно различные действительные корни этого многочлена, - их кратности, квадратные трёхчлены (соответствующие попарно различным парам сопряжённых корней кратностей ) с действительными коэффициентами не имеют действительных корней (т.е. ), . Это утверждение непосредственно следует из результатов этого и предыдущего разделов.

6. При выводе предыдущего утверждения мы существенно использовали тот факт, что - комплексная переменная (в частности, когда ссылались на основную теорему алгебры). В то же время в самом полученном представлении многочлена все участвующие величины (кроме ) - действительные числа. Предположим теперь, чтобы переменная принимает только действительные значения, т.е. . Тогда утверждение 5 можно переформулировать так: любой многочлен с действительными коэффициентами от действительной переменной может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде

, где смысл всех параметров описан выше.

Определение. Пусть и — многочлены, . Будем говорить, что поделен на с остатком, если представлен в виде , где и — многочлены, причем .

Полином называется остатком от деления на , — неполным частным.

Пример. .

.

Теорема. (о делении с остатком). Пусть и — полиномы над полем , . Тогда существуют единственные многочлены и над полем такие, что и .

Доказательство. Существование.

Пусть . Положим .

.

Предположим, что теорема верна не для любого полинома ( фиксируем). Среди всех многочленов , для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его :

Пусть . Положим

Коэффициент при в многочлене равен . Следовательно, . Значит, для многочлена теорема верна. Существуют такие и , что . Тогда

Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.

Единственность. Предположим, что

1) . Значит, ,

2) .

Получили противоречие. Этот случай невозможен.

Дата добавления: 2014-12-16; Просмотров: 698; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!